读者应该熟悉集合论的基础知识：集合、$\cap, \cup, \in$ 等。我们对给定集合 $A$ 的子集的表示法如下：
集合 $A$ 的阶或基数将用 $|A|$ 表示。如果 $A$ 是一个有限集合，则 $A$ 的阶就是 $A$ 中元素的数量。
理解如何测试特定的 $x \in A$ 是否位于 $A$ 的子集 $B$ 中（参见练习 1-4）非常重要。两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是有序对的集合 $A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$，其中元素来自 $A$ 和 $B$。
这段话介绍了最基础的集合论概念和符号。
1. 基本概念：
* 集合 (Set)：一堆确定的、互不相同的对象的总体。例如，所有正整数构成一个集合。
* 元素 (Element)：集合中的每个对象。例如，数字 3 是正整数集合的一个元素。
* 符号 $\in$：表示“属于”。$a \in A$ 读作“a 属于 A”，意思是 a 是集合 A 的一个元素。
* 符号 $\cap$：表示“交集”。$A \cap B$ 是一个新的集合，其元素既属于 A 也属于 B。
* 符号 $\cup$：表示“并集”。$A \cup B$ 是一个新的集合，其元素或者属于 A，或者属于 B，或者两者都属于。
2. 子集的表示法 (Set-builder notation)：
* 这是一种用“规则”来描述集合的方法，而不是把所有元素都列出来。
* 格式是 {变量 | 条件} 或者 {变量 : 条件}。
* 原文的 $B=\{a \in A \mid \ldots(\text { 对 } a \text { 的条件 }) \ldots\}$ 意思就是：子集 B 是由集合 A 中所有满足特定条件的元素 a 组成的。
3. 集合的阶/基数 (Order/Cardinality)：
* 用符号 $|A|$ 表示。
* 对于有限集合（元素个数是有限的），$|A|$ 就是元素的个数。
* 对于无限集合，阶/基数的概念更复杂，涉及到无穷大的“大小”比较，但在初等阶段，我们主要关心有限集合的阶。
4. 测试元素是否在子集中：
* 要判断一个元素 $x$ 是否在子集 $B=\{a \in A \mid \text{条件}\}$ 中，你需要做两步检查：
1. 检查 $x$ 是否在父集 $A$ 中，即 $x \in A$ 是否成立。
2. 如果成立，再检查 $x$ 是否满足定义子集 B 的那个“条件”。
* 只有两步都通过，才能说 $x \in B$。
5. 笛卡尔积 (Cartesian Product)：
* 用符号 $A \times B$ 表示。
* 它产生的新集合的元素是有序对 (ordered pair)，形如 $(a, b)$。
* 有序意味着 $(a, b)$ 和 $(b, a)$ 是不同的（除非 $a=b$ 且 $A=B$）。第一个元素必须来自集合 A，第二个元素必须来自集合 B。
- $B$: 这是我们正在定义的新集合，即子集。
- $=$: 定义符号，表示左边等于右边。
- $\{$ ... $\}$: 集合的括号，里面包含集合的描述。
- $a$: 一个代号，代表集合中的一个典型的元素。你可以用任何字母，比如 $x, y$ 等。
- $\in$: “属于”符号。$a \in A$ 表示元素 $a$ 必须来自集合 $A$。
- $\mid$: “满足...条件”的分隔符，读作 "such that" 或“使得”。有些书也用冒号 :。
- $\ldots(\text { 对 } a \text { 的条件 }) \ldots$: 这是一个占位符，代表一个逻辑判断语句。对于任何一个来自 $A$ 的元素 $a$，我们将这个判断语句应用到它身上，如果结果为真，那么这个 $a$ 就被包含在集合 $B$ 中；如果为假，就不包含。
示例1：子集表示法
- 设父集 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
- 我们想定义一个子集 $B$，它包含 $A$ 中所有的偶数。
- 这里的“条件”就是“是一个偶数”。
- 使用集合构建表示法，我们写作：$B = \{ a \in A \mid a \text{ 是偶数} \}$。
- 为了验证这个定义，我们检查 A 中的每个元素：
- 1 是偶数吗？否。
- 2 是偶数吗？是。所以 $2 \in B$。
- 3 是偶数吗？否。
- 4 是偶数吗？是。所以 $4 \in B$。
- 5 是偶数吗？否。
- 6 是偶数吗？是。所以 $6 \in B$。
- 因此， $B = \{2, 4, 6\}$。
- 这个集合 $B$ 的阶是 $|B| = 3$。
示例2：笛卡尔积
- 设集合 $A = \{1, 2\}$ 和集合 $B = \{\text{红}, \text{黄}\}$。
- 它们的笛卡尔积 $A \times B$ 是所有可能的有序对 $(a, b)$ 的集合，其中 $a$ 来自 $A$，$b$ 来自 $B$。
- $A \times B = \{ (1, \text{红}), (1, \text{黄}), (2, \text{红}), (2, \text{黄}) \}$。
- 注意顺序很重要，$B \times A = \{ (\text{红}, 1), (\text{红}, 2), (\text{黄}, 1), (\text{黄}, 2) \}$。
- 可以看到 $A \times B \neq B \times A$。
- 笛卡尔积的阶等于各集合阶的乘积：$|A \times B| = |A| \times |B| = 2 \times 2 = 4$。
- 子集表示法的误解：$B=\{a \in A \mid \text{条件}\}$ 中的 $a$ 只是一个占位符，它本身没有特殊含义。$B=\{x \in A \mid x \text{ 是偶数}\}$ 和 $B=\{y \in A \mid y \text{ 是偶数}\}$ 定义的是完全相同的集合。
- 阶 vs. 元素：集合的阶 $|A|$ 是一个数字，而集合 $A$ 本身是一堆对象的聚集。不要混淆。例如，如果 $A = \{7, 8\}$，那么 $|A| = 2$，但 $2 \notin A$。
- 空集：空集 $\emptyset = \{\}$ 是任何集合的子集。它的阶是 $|\emptyset| = 0$。
- 笛卡尔积的顺序：初学者很容易忘记笛卡尔积 $A \times B$ 中的元素是有序对，从而错误地认为 $A \times B$ 和 $B \times A$ 是一样的。它们通常是不一样的。
- 元素 vs. 单元素集合：$a$ 是一个元素，而 $\{a\}$ 是一个只包含一个元素的集合。它们是不同类型的对象。$a \in A$，但 $\{a\} \subseteq A$（$\{a\}$ 是 $A$ 的子集）。
本节回顾了集合论的基石：如何用特定规则（集合构建范式）从一个大集合中筛选元素来构建一个子集，如何计算有限集合中元素的数量（阶），以及如何通过组合两个集合的元素来创建有序对的集合（笛卡尔积）。
集合是数学的通用语言。抽象代数研究的是带有某些运算结构的集合（如群、环、域）。因此，在讨论这些结构之前，必须先统一关于集合本身的基本术语、符号和操作，以确保后续的定义和证明建立在坚实且无歧义的基础之上。
- 集合：一个袋子。
- 元素：袋子里的物品。
- 子集：从大袋子里按照某个标准（比如“只挑出红色的球”）挑出一部分物品，放进一个小袋子里。
- 阶：袋子里有多少个物品。
- 笛卡尔积 $A \times B$：想象你有两套衣服，上衣集合 $A=\{\text{T恤}, \text{衬衫}\}$，裤子集合 $B=\{\text{牛仔裤}, \text{休闲裤}\}$。$A \times B$ 就是所有可能的上下装搭配方案的集合，每种方案都是一个有序对，比如 (T恤, 牛仔裤)。
我们将使用以下符号表示一些常见的数集：
(1) $\mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\}$ 表示整数（$\mathbb{Z}$ 是德语“数字”：”Zahlen”的缩写）。
(2) $\mathbb{Q}=\{a / b \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$ 表示有理数（或有理数集）。
(3) $\mathbb{R}=\left\{\right.$ 所有小数展开式 $\left.\pm d_{1} d_{2} \ldots d_{n} . a_{1} a_{2} a_{3} \ldots\right\}$ 表示实数（或实数集）。
(4) $\mathbb{C}=\left\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1\right\}$ 表示复数。
(5) $\mathbb{Z}^{+}、\mathbb{Q}^{+}$和 $\mathbb{R}^{+}$将分别表示 $\mathbb{Z}、\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 中的正（非零）元素。
这部分定义了在整本书中会反复使用的标准数集符号。
1. $\mathbb{Z}$ (整数集)：
* 包括所有正整数、负整数和零。
* ... 表示无限延伸。
* 字母 Z 来自德语单词 "Zahlen"，意思是“数字”。
2. $\mathbb{Q}$ (有理数集)：
* 所有可以表示成两个整数之比（分数）的数。
* 定义 $a/b$ 中，$a$ 是分子，$b$ 是分母。
* 一个至关重要的条件是分母 $b$ 不能为零 ($b \neq 0$)，因为除以零在数学上没有定义。
* 字母 Q 来自英语单词 "Quotient"，意思是“商”。
3. $\mathbb{R}$ (实数集)：
* 这包括了有理数和无理数（比如 $\pi, \sqrt{2}$）。
* 原文用“所有小数展开式”来描述，这是一种直观的说法。实数可以与数轴上的点一一对应。
* 小数展开可以是有限的（如 0.5），无限循环的（如 $1/3 = 0.333...$），或无限不循环的（如 $\pi = 3.14159...$）。
4. $\mathbb{C}$ (复数集)：
* 复数扩展了实数。它的形式是 $a+bi$。
* $a$ 是实部，来自实数集 $\mathbb{R}$。
* $b$ 是虚部，也来自实数集 $\mathbb{R}$。
* $i$ 是虚数单位，其定义是 $i^2 = -1$。这使得我们可以处理负数的平方根。
5. 正数集符号：
* 右上角的 + 号表示取该集合中的正数部分。
* $\mathbb{Z}^{+}$ 是正整数集 $\{1, 2, 3, \ldots\}$。注意，根据上下文，有时可能包含0，但这里原文明确指出是“非零”元素，所以不包含0。在本书中，正数就是大于0的数。
* $\mathbb{Q}^{+}$ 是所有正有理数。
* $\mathbb{R}^{+}$ 是所有正实数。
- 整数 $\mathbb{Z}$: $-100, -2, 0, 5, 42$ 都是整数。
- 有理数 $\mathbb{Q}$:
- $1/2$ 是有理数 ($a=1, b=2$)。
- $-7/3$ 是有理数 ($a=-7, b=3$)。
- $5$ 也是有理数，因为它可以写成 $5/1$ ($a=5, b=1$)。这说明所有整数都是有理数。
- $0.25$ 也是有理数，因为它可以写成 $1/4$。
- 实数 $\mathbb{R}$:
- 以上所有的整数和有理数都是实数。
- $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ 是实数，但它不是有理数（即它是无理数）。
- $\pi \approx 3.14159265...$ 是实数，但它不是有理数（即它是无理数）。
- 复数 $\mathbb{C}$:
- $3 + 2i$ 是一个复数，实部是3，虚部是2。
- $5i$ (或 $0+5i$) 是一个纯虚数，实部是0，虚部是5。
- $7$ (或 $7+0i$) 是一个实数，但也可以看作一个复数，其虚部为0。这说明所有实数都是复数。
- 正数集:
- $\mathbb{Z}^{+} = \{1, 2, 3, \ldots\}$。
- $5 \in \mathbb{Z}^{+}$。
- $1/2 \in \mathbb{Q}^{+}$。
- $\pi \in \mathbb{R}^{+}$。
- $-3 \notin \mathbb{Z}^{+}$。
- $0 \notin \mathbb{Z}^{+}$。
- 集合的包含关系：$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$。也就是说，所有整数都是有理数，所有有理数都是实数，所有实数都是复数。这是一个层层嵌套的结构。
- 0是否为正数：在本书的约定中，带 + 号的集合 $\mathbb{Z}^{+}, \mathbb{Q}^{+}, \mathbb{R}^{+}$ 不包含 0。但在其他一些数学文献中，对“自然数”的定义有时会包含0。因此，注意当前上下文的约定非常重要。
- 有理数的表示：一个有理数有多种分数表示，例如 $1/2 = 2/4 = -3/-6$。定义 $f(a/b)=a$ 是有问题的（“非良定义的”），因为它依赖于分数的特定写法。
本节规定了五种基本数集（整数、有理数、实数、复数）和它们的正子集的标准符号。这些符号是数学界的通用语言，将在后续所有章节中不加解释地直接使用。
为了避免每次提到整数或实数时都要用文字冗长地描述，使用标准符号 $\mathbb{Z}, \mathbb{R}$ 等可以让表达更简洁、精确、无歧义。这是一种效率和严谨性的体现。
- $\mathbb{Z}$ (整数)：数轴上孤立的点，像一串等距的珠子。
- $\mathbb{Q}$ (有理数)：在数轴上极为密集，任何两个有理数之间都有无穷多个有理数。但它们仍然有“缝隙”。
- $\mathbb{R}$ (实数)：填满了数轴上所有的点，是一条连续不断的线，没有任何缝隙。
- $\mathbb{C}$ (复数)：不再是一条线，而是一个平面（复平面）。实轴（横轴）代表实部，虚轴（纵轴）代表虚部。每个复数是平面上的一个点。
我们将使用符号 $f: A \rightarrow B$ 或 $A \xrightarrow{f} B$ 来表示从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$，并且 $f$ 在 $a$ 处的值表示为 $f(a)$（即，我们将所有函数应用到左侧）。函数和映射这两个词我们可互换使用。集合 $A$ 称为 $f$ 的定义域，而 $B$ 称为 $f$ 的上域。如果 $f$ 是已知的，则符号 $f: a \mapsto b$ 或 $a \mapsto b$ 表示 $f(a)=b$，即函数在元素上被指定。
这部分引入了函数的基本概念和符号。
1. 函数 (Function) / 映射 (Mapping)：在本书中，这两个词是同义词。一个函数 $f$ 是一个规则，它将定义域集合 $A$ 中的每一个元素，都对应到上域集合 $B$ 中一个唯一的元素。
2. 函数符号 $f: A \rightarrow B$：
* $f$：函数的名字。
* $A$：定义域 (Domain)，即函数输入的来源集合。
* $B$：上域 (Codomain)，即函数输出可能存在的目标集合。
* $\rightarrow$：箭头表示从定义域到上域的映射方向。
3. 函数求值 $f(a)$：
* $a$ 是定义域 $A$ 中的一个具体元素。
* $f(a)$ 是 $a$ 在函数 $f$ 的作用下，对应到上域 $B$ 中的那个唯一的元素。这个元素被称为 $a$ 的像 (image)。
* “我们将所有函数应用到左侧” 指的是 $f(a)$ 这种标准写法，函数名 $f$ 在其作用的元素 $a$ 的左边。
4. 元素映射符号 $a \mapsto b$：
* 这个带小竖线的箭头 $\mapsto$ 表示一个具体的元素对应关系。
* $a \mapsto b$ 读作 "a is mapped to b"，明确指出函数 $f$ 把元素 $a$ 变成了元素 $b$，即 $f(a)=b$。
* 这与 $\rightarrow$ 不同，$\rightarrow$ 描述的是集合之间的关系，而 $\mapsto$ 描述的是元素之间的关系。
示例1：平方函数
- 设函数 $f$ 的功能是“求一个数的平方”。
- 我们可以定义它为从实数到实数的函数：$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。
- 这里的定义域是 $\mathbb{R}$，上域也是 $\mathbb{R}$。
- 对于定义域中的一个元素，比如 $3$，它的值是 $f(3) = 3^2 = 9$。
- 我们可以用元素映射符号来表示这个具体关系：$3 \mapsto 9$。
- 同样，$-2 \mapsto 4$。
示例2：颜色指派函数
- 设 $A = \{\text{苹果}, \text{香蕉}, \text{草莓}\}$， $B = \{\text{红色}, \text{黄色}, \text{绿色}\}$。
- 我们定义一个函数 $g: A \rightarrow B$，它描述这些水果的典型颜色。
- $g(\text{苹果}) = \text{红色}$
- $g(\text{香蕉}) = \text{黄色}$
- $g(\text{草莓}) = \text{红色}$
- 用元素映射符号表示：
- 苹果 $\mapsto$ 红色
- 香蕉 $\mapsto$ 黄色
- 草莓 $\mapsto$ 红色
- 定义域是 $A$，上域是 $B$。
- 定义域中的“每一个”：函数必须对定义域中的所有元素都有定义。例如， $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $f(x)=1/x$ 不是一个合法的函数，因为 $x=0$ 时没有定义。为了合法，必须将定义域修改为 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$。
- 上域中的“唯一”：定义域中的一个元素不能对应到上域中的多个元素。例如，"取一个数的平方根" $f(x)=\pm\sqrt{x}$ 不是一个从 $\mathbb{R}^+$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数，因为 $f(4)$ 既可以是 2 也可以是 -2。
- 上域 (Codomain) vs. 值域 (Range)：上域是函数输出的“目标靶场”，是函数定义时就规定好的。值域是实际上所有输出值构成的集合，是上域的一个子集。在示例2中，上域是 $B = \{\text{红色}, \text{黄色}, \text{绿色}\}$，但值域是 $\{\text{红色}, \text{黄色}\}$，因为“绿色”没有被任何水果对应到。
本节明确了函数（或映射）的定义：一种将定义域中每个元素唯一地与上域中一个元素相关联的规则。同时，它规定了描述函数整体（$f: A \rightarrow B$）和描述单个元素对应关系（$a \mapsto b$）的标准化符号。
函数是描述两个集合之间关系的核心数学工具。在抽象代数中，我们将特别关注那些能“保持结构”的函数（称为同态），它们是理解和比较不同代数结构的关键。因此，首先必须对函数本身有一个清晰、统一的定义。
- 函数：一台机器。
- 定义域 $A$：机器能接受的原材料的集合。
- 上域 $B$：机器可能生产出的产品的种类的集合。
- 一个元素 $a \in A$：一份具体的原材料。
- $f(a)$：把原材料 $a$ 投进机器 $f$ 后，生产出的那个唯一的产品。
- $a \mapsto b$：一个操作记录，说明“投入原材料a，产出了产品b”。
如果函数 $f$ 未在元素上指定，通常检查 $f$ 是否良好定义（well defined），即是否被明确确定，这一点很重要。例如，如果集合 $A$ 是两个子集 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的并集，那么可以通过声明 $f$ 将 $A_{1}$ 中的所有内容映射到 0，并将 $A_{2}$ 中的所有内容映射到 1，来尝试指定一个从 $A$ 到集合 $\{0,1\}$ 的函数。除非 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 有共同的元素（在这种情况下，不清楚这些元素应该映射到 0 还是 1），否则这会明确定义 $f$。因此，检查这个 $f$ 是否良好定义，就相当于检查 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 没有交集。
这部分讨论了一个在定义函数时至关重要的概念：良定义性 (Well-definedness)。
一个函数是“良定义的”，意味着它的定义是清晰、无歧义的。对于定义域中的任何一个输入，都必须有且仅有一个确定的输出。
当函数的定义是基于输入的某种“表示”或“属性”，而不是输入本身时，良定义性问题就显得尤为突出。
原文的例子说明了这一点：
1. 尝试定义函数：我们想定义一个函数 $f: A_1 \cup A_2 \rightarrow \{0, 1\}$。
2. 定义规则：
- 如果一个元素 $x$ 在 $A_1$ 里，就让 $f(x)=0$。
- 如果一个元素 $x$ 在 $A_2$ 里，就让 $f(x)=1$。
3. 潜在的问题：如果有一个元素 $x$ 同时在 $A_1$ 和 $A_2$ 中（即 $x \in A_1 \cap A_2$），那么按照第一条规则，$f(x)$ 应该是 0；但按照第二条规则，$f(x)$ 又应该是 1。由于一个输入不能有两个输出，这就产生了歧义。函数 $f$ 在这种情况下就不是“良定义的”。
4. 良定义的条件：为了让这个 $f$ 的定义没有歧义，必须保证任何元素不会同时满足两条规则。这意味着 $A_1$ 和 $A_2$ 的交集必须是空的，即 $A_1 \cap A_2 = \emptyset$。此时，对于任何元素 $x \in A_1 \cup A_2$，它要么只在 $A_1$ 中，要么只在 $A_2$ 中，输出是唯一确定的。
示例1：有理数上的函数（非良定义）
- 我们在练习5(a)中见过这个例子。尝试定义一个函数 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}$，规则是 $f(a/b) = a$。
- 问题：有理数 $1/2$ 和 $2/4$ 是同一个数。
- 按照规则，对于 $1/2$ 这种表示，$f(1/2) = 1$。
- 按照规则，对于 $2/4$ 这种表示，$f(2/4) = 2$。
- 我们有同一个输入（有理数 $0.5$），但是根据其不同的分数“表示”，得到了两个不同的输出（1 和 2）。
- 因此，这个函数 $f$ 不是良定义的。
示例2：有理数上的函数（良定义）
- 我们在练习5(b)中见过这个例子。尝试定义一个函数 $g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$，规则是 $g(a/b) = a^2/b^2$。
- 检查：我们还是用同一个数，不同的表示：$1/2$ 和 $2/4$。
- 对于 $1/2$ 这种表示，$g(1/2) = 1^2/2^2 = 1/4$。
- 对于 $2/4$ 这种表示，$g(2/4) = 2^2/4^2 = 4/16$。
- 因为 $1/4$ 和 $4/16$ 是同一个有理数，所以输出是相同的。
- 我们可以推广：如果 $a/b = c/d$，那么 $ad=bc$。我们需要检查 $a^2/b^2$ 是否等于 $c^2/d^2$，即 $a^2d^2$ 是否等于 $b^2c^2$。这等价于 $(ad)^2 = (bc)^2$，因为 $ad=bc$，所以这是成立的。
- 因此，这个函数 $g$ 的输出与输入的表示方式无关，它是良定义的。
- 良定义性问题通常出现在定义域的元素有多种表示方式时，比如有理数（分数表示）、模算术中的同余类、或由某些等价关系定义的商集。
- 检验良定义性的核心是证明：如果两个表示 $x_1$ 和 $x_2$ 代表的是同一个元素，那么必须有 $f(x_1) = f(x_2)$。
- 初学者在自己构造函数时，尤其是在处理商集（quotient sets）时，常常会忽略检查良定义性，这是一个非常普遍且严重的错误。
“良定义”是函数合法性的基本门槛。它确保函数的规则是明确的，对任何给定的输入，无论这个输入如何表示或描述，其输出都是唯一确定的，没有任何模糊或矛盾之处。
在抽象代数中，我们经常需要在由等价关系产生的“商集”上定义函数。例如，在整数模 $n$ 的算术中，我们是在“同余类”上定义运算。一个同余类（比如模5下的 [2]）包含了无穷多个整数（..., -8, -3, 2, 7, 12, ...）。当我们定义 [a] + [b] = [a+b] 时，我们需要确保这个定义是良定义的：即我们选择 [a] 中的哪个代表元（比如2还是7），选择 [b] 中的哪个代表元，最终得到的结果都应该属于同一个同余类。因此，良定义性的检查是构造这些理论的基石。
想象一个自动售货机。它的输入是“按钮编号”，输出是“饮料”。
- 良定义：如果按钮 "A1" 上画的是可乐，那么每次按 "A1"，出来的都必须是可乐。
- 非良定义：
- 歧义：如果 "A1" 按钮同时连接到可乐和雪碧的出口，按下去会发生什么？这是不确定的。
- 依赖表示：假设有两个按钮 "A1" 和 "B2"，标签上都写着“可乐”，但 "A1" 出可乐，"B2" 却出橙汁。那么“给我来一瓶‘标签上写着可乐’的饮料”这个指令就是非良定义的，因为结果依赖于你按哪个按钮（即你如何“表示”你的选择）。良定义的函数应该做到，只要你想要的是可乐，无论你通过哪个“等价的”方式表达，结果都应该是可乐。
集合
是 $B$ 的一个子集，称为 $f$ 的值域或像（或 $A$ 在 $f$ 下的像）。对于 $B$ 的每个子集 $C$，集合
由在 $f$ 下映射到 $C$ 的 $A$ 中的元素组成，称为 $C$ 在 $f$ 下的原像或逆像。对于每个 $b \in B$，集合 $\{b\}$ 在 $f$ 下的原像称为 $f$ 在 $b$ 上的纤维。请注意，$f^{-1}$ 通常不是一个函数，并且 $f$ 的纤维通常包含许多元素，因为可能有许多 $A$ 中的元素映射到元素 $b$。
这部分定义了与函数输出和输入相关的两个重要集合：值域和原像。
1. 值域 (Range) / 像 (Image)：
* 符号是 $f(A)$，表示整个定义域 $A$ 在函数 $f$ 作用下得到的所有输出值的集合。
* 它是上域 $B$ 的一个子集，即 $f(A) \subseteq B$。
* 值域是所有“实际命中”的目标的集合。
2. 原像 (Preimage) / 逆像 (Inverse Image)：
* 符号是 $f^{-1}(C)$，其中 $C$ 是上域 $B$ 的一个子集。
* $f^{-1}(C)$ 是一个在定义域 $A$ 中的集合。它包含了所有那些被 $f$ 映射到 $C$ 集合里的元素的集合。
* 可以理解为“追溯源头”：给定一个目标区域 $C$，找出所有能射中这个区域的“出发点”。
3. 纤维 (Fiber)：
* 纤维是原像的一个特例。
* 它是上域中单个元素 $b$ 的原像，即 $f^{-1}(\{b\})$。
* $f$ 在 $b$ 上的纤维，就是定义域中所有那些被 $f$ 映射到 $b$ 这一个点的元素的集合。
4. $f^{-1}$ 不是函数：
* 这里要特别注意，$f^{-1}(C)$ 这个符号只是一个记号，不意味着存在一个叫做 $f^{-1}$ 的逆函数。
- $f^{-1}$ 作用的对象是集合（上域的子集），返回的也是集合（定义域的子集）。
* 一个真正的逆函数应该是从元素到元素。之所以通常不存在，是因为一个 $b \in B$ 可能由多个 $a \in A$ 映射而来（此时纤维包含多个元素），也可能没有任何 $a \in A$ 映射到它（此时纤维是空集）。这都违反了函数“唯一输出”的原则。
- $f(A)$: 我们要定义的集合，即函数 $f$ 的值域。
- $\{b \in B \mid ...\}$: 表示这是一个上域 $B$ 的子集，里面的元素我们用 $b$ 来代表，它需要满足 | 后面的条件。
- $b=f(a), \text { 对于某些 } a \in A$: 这就是条件。一个元素 $b$ 要想进入值域 $f(A)$，它必须能被“制造”出来，即必须存在（至少一个）定义域中的元素 $a$，使得 $f(a)$ 恰好等于 $b$。 “对于某些” (for some) 的意思是“至少存在一个”。
- $f^{-1}(C)$: 我们要定义的集合，即子集 $C$ 在 $f$ 下的原像。
- $\{a \in A \mid ...\}$: 表示这是一个定义域 $A$ 的子集，里面的元素我们用 $a$ 来代表，它需要满足 | 后面的条件。
- $f(a) \in C$: 这就是条件。一个元素 $a$ 要想进入原像 $f^{-1}(C)$，它经过函数 $f$ 映射后的结果 $f(a)$，必须落在目标区域 $C$ 里面。
继续使用之前的函数示例：$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $f(x)=x^2$。
- 定义域 $A = \mathbb{Z}$。
- 上域 $B = \mathbb{Z}$。
求值域:
- $f(\mathbb{Z})$ 是所有整数平方后得到的结果的集合。
- $f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=1, f(2)=4, f(-2)=4, f(3)=9, ...$
- 所以值域 $f(\mathbb{Z}) = \{0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots\}$，即所有完全平方数。
- 可以看到，值域是上域 $\mathbb{Z}$ 的一个真子集（例如 $2, 3, -1$ 都在上域但不在值域）。
求原像:
- 设上域中的一个子集 $C = \{1, 2, 3, 4\}$。
- 求 $C$ 的原像 $f^{-1}(C)$。我们要找所有定义域中的整数 $x$，使得 $x^2$ 的结果在 $C$ 中。
- $x^2=1 \implies x=1$ 或 $x=-1$。
- $x^2=2 \implies$ 在整数中无解。
- $x^2=3 \implies$ 在整数中无解。
- $x^2=4 \implies x=2$ 或 $x=-2$。
- 所以，$f^{-1}(C) = \{-2, -1, 1, 2\}$。
求纤维:
- 求上域中元素 $9$ 的纤维 $f^{-1}(\{9\})$。我们要找所有 $x \in \mathbb{Z}$ 使得 $x^2=9$。
- 解得 $x=3$ 或 $x=-3$。
- 所以，在 9 上的纤维是集合 $\{-3, 3\}$。
- 求上域中元素 $5$ 的纤维 $f^{-1}(\{5\})$。我们要找所有 $x \in \mathbb{Z}$ 使得 $x^2=5$。
- 在整数中无解。
- 所以，在 5 上的纤维是空集 $\emptyset$。
- 求上域中元素 $0$ 的纤维 $f^{-1}(\{0\})$。我们要找所有 $x \in \mathbb{Z}$ 使得 $x^2=0$。
- 解得 $x=0$。
- 所以，在 0 上的纤维是集合 $\{0\}$。
- 混淆 $f(A)$ 和 $f^{-1}(C)$ 的“居住地”：$f(A)$ 是上域 $B$ 的子集（输出端），而 $f^{-1}(C)$ 是定义域 $A$ 的子集（输入端）。
- 对 $f^{-1}$ 符号的过度解读：再次强调，$f^{-1}(C)$ 是一个符号整体，它操作的是集合。不要把它拆开看成一个叫 $f^{-1}$ 的函数作用在 $C$ 上。只有当 $f$ 是双射函数时，才存在一个从元素到元素的逆函数 $f^{-1}$。
- 原像和纤维可以是空集：如果上域的某个区域或某个点没有被任何输入映射到，那么它的原像或纤维就是空集 $\emptyset$。
本节定义了函数的两个核心关联集合：值域（所有实际输出的集合）和原像（能产生特定输出范围的所有输入的集合）。同时，引入了纤维作为单个输出点的原像。这些概念是分析函数行为（如是否满射、是否单射）的基础。
值域和原像是描述和分析函数性质的基本工具。
- 值域的大小和与上域的关系，直接决定了函数的满射性。
- 纤维的大小，直接决定了函数的单射性。
在抽象代数中，研究同态的核（kernel，一个特殊的原像/纤维）和像（值域）是理解代数结构之间关系的核心步骤（例如，群的第一同构定理）。
继续用机器的类比 ($f: A \rightarrow B$)：
- 值域 $f(A)$：这台机器实际能生产出的所有产品型号的清单。尽管它的产品目录（上域 $B$）上可能印着很多型号，但有些型号它可能根本生产不出来。
- 原像 $f^{-1}(C)$：假设 $C$ 是一个“合格产品”的规格列表。原像 $f^{-1}(C)$ 就是所有那些能够生产出合格产品的“原材料”的集合。
- 纤维 $f^{-1}(\{b\})$：假设 $b$ 是一种特定的产品“可乐”。纤维就是所有能生产出可乐的原材料的集合（可能是“配方A”、“配方B”等等）。如果纤维里有多个元素，说明有多种原材料都能生产出同一种产品。如果纤维是空集，说明这台机器根本造不出可乐。
如果 $f: A \rightarrow B$ 且 $g: B \rightarrow C$，则复合映射 $g \circ f: A \rightarrow C$ 定义为
这部分定义了如何将两个函数“串联”起来，形成一个新的函数。
1. 复合的条件：要将两个函数 $f$ 和 $g$ 复合成 $g \circ f$，一个关键的前提是：前一个函数 $f$ 的上域 $B$ 必须是后一个函数 $g$ 的定义域。这样才能保证 $f$ 的输出可以作为 $g$ 的输入。
* 更宽松的条件是：$f$ 的值域必须是 $g$ 的定义域的子集。但通常为了定义简洁，直接要求 $f$ 的上域就是 $g$ 的定义域。
2. 复合函数 $g \circ f$：
* 这个新函数读作 "g circle f" 或 "g composed with f"。
* 它的定义域是第一个函数 $f$ 的定义域 $A$。
* 它的上域是第二个函数 $g$ 的上域 $C$。
* 所以 $g \circ f$ 是一个从 $A$ 直接到 $C$ 的函数。
3. 复合函数的运算规则：
* $(g \circ f)(a)$ 的意思是，先将 $a$ 输入到函数 $f$ 中，得到结果 $f(a)$。
* 然后，再将 $f(a)$ 这个结果作为输入，送入到函数 $g$ 中，得到最终结果 $g(f(a))$。
* 注意运算顺序：虽然符号写作 $g \circ f$，但在计算时是 $f$ 先作用，然后 $g$ 再作用。顺序是从右向左。
- $(g \circ f)$: 这是一个整体，代表复合函数这个新的函数。
- $(a)$: 表示将复合函数作用在元素 $a$ 上。
- $=$: 定义符号。
- $g(f(a))$: 这解释了复合函数的计算步骤。
- $f(a)$: 内层括号先算。将 $a$ 通过 $f$ 映射，得到一个中间结果，这个结果在集合 B 中。
- $g(...)$: 然后将这个中间结果作为 $g$ 的输入，再通过 $g$ 映射，得到最终结果，这个结果在集合 C 中。
示例1：代数函数复合
- 设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $f(x) = x + 3$ (加3函数)。
- 设 $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $g(y) = y^2$ (平方函数)。
- $f$ 的上域 $\mathbb{R}$ 是 $g$ 的定义域 $\mathbb{R}$，可以复合。
- 计算 $g \circ f$:
- 这是一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的新函数。
- $(g \circ f)(x) = g(f(x))$
- $f(x)$ 是 $x+3$，所以代入得 $g(x+3)$。
- $g$ 的作用是把输入平方，所以 $g(x+3) = (x+3)^2$。
- 因此，复合函数是 $(g \circ f)(x) = (x+3)^2 = x^2+6x+9$。
- 例如，计算 $(g \circ f)(2)$：先算 $f(2)=2+3=5$，再算 $g(5)=5^2=25$。直接用公式是 $(2+3)^2=25$。
- 计算 $f \circ g$ (注意顺序):
- 这是一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的新函数。
- $(f \circ g)(y) = f(g(y))$
- $g(y)$ 是 $y^2$，所以代入得 $f(y^2)$。
- $f$ 的作用是把输入加3，所以 $f(y^2) = y^2+3$。
- 因此，复合函数是 $(f \circ g)(y) = y^2+3$。
- 例如，计算 $(f \circ g)(2)$：先算 $g(2)=2^2=4$，再算 $f(4)=4+3=7$。直接用公式是 $2^2+3=7$。
- 结论：$(g \circ f)(x) = (x+3)^2$ 和 $(f \circ g)(x) = x^2+3$ 是完全不同的函数。这说明函数复合不满足交换律，即 $g \circ f \neq f \circ g$。
- 运算顺序：最常见的错误是搞反运算顺序。$g \circ f$ 是 $f$ 先算，$g$ 后算。从右向左看。
- 复合的条件：并非任意两个函数都可以复合。必须确保第一个函数的输出类型是第二个函数可以接受的输入类型。例如，如果 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ 且 $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，则 $g \circ f$ 就无法定义，因为 $f$ 的输出是复数，而 $g$ 只接受实数输入。
- 结合律：函数复合满足结合律，即 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$。这意味着只要顺序不变，先复合哪两个是无所谓的，所以可以写成 $h \circ g \circ f$。
函数复合是将多个函数按顺序连接，创建一个从起点直达终点的新函数的过程。它的核心规则是 $(g \circ f)(a) = g(f(a))$，运算顺序从右至左。
函数复合是代数思想的核心。在抽象代数中，我们研究的群、环等结构，其运算本身就可以看作是一种函数（例如，加法是一个从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的函数）。而函数复合操作本身，在某些条件下（例如，一个集合到自身的全体双射函数），可以构成一个新的代数结构（一个群，称为置换群或对称群）。它是构建更复杂结构和关系的基本操作。
- 函数复合：流水线作业。
- $f: A \rightarrow B$ 是第一道工序， $g: B \rightarrow C$ 是第二道工序。
- 原材料 $a$ 从 $A$ 进入，经过第一道工序 $f$ 加工，变成半成品 $f(a)$，它属于 $B$。
- 半成品 $f(a)$ 立刻进入第二道工序 $g$ 加工，变成最终成品 $g(f(a))$，它属于 $C$。
- 复合函数 $g \circ f$ 就是把整条流水线看成一个整体的“黑箱工厂”，你只看到原材料 $a$ 进去，最终成品 $g(f(a))$ 出来，而忽略了中间的半成品步骤。
设 $f: A \rightarrow B$。
(1) 如果每当 $a_{1} \neq a_{2}$ 时，$f\left(a_{1}\right) \neq f\left(a_{2}\right)$，则 $f$ 是内射或单射。
(2) 如果对于所有 $b \in B$，存在某个 $a \in A$ 使得 $f(a)=b$，则 $f$ 是满射或外射，即 $f$ 的像是 $B$ 的全部。请注意，由于函数总是映射到其值域（根据定义），因此为了使满射性问题有意义，需要指定上域 $B$。
(3) 如果 $f$ 既是内射又是满射，则 $f$ 是双射或一对一对应。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的这种双射 $f$，我们称 $A$ 和 $B$ 双射对应。
这部分定义了函数的三种关键性质，它们描述了输入和输出之间对应关系的形态。
1. 内射 (Injective) / 单射 (One-to-one)：
* 核心思想：不丢失信息。不同的输入必然得到不同的输出。
* 定义：如果 $a_1$ 和 $a_2$ 是定义域中两个不同的元素，那么它们的输出 $f(a_1)$ 和 $f(a_2)$也必然不同。
* 等价的逆否命题：在证明中，我们更常用它的逆否命题形式：如果 $f(a_1) = f(a_2)$，那么必然有 $a_1 = a_2$。也就是说，如果输出相同，那么输入也必然是同一个。
* 直观理解：没有“多对一”的映射，只有“一对一”或“一对无”（如果函数不是满射的）。
2. 满射 (Surjective) / 外射 (Onto)：
* 核心思想：覆盖所有目标。上域中的每一个元素都至少被一个输入映射到了。
* 定义：对于上域 $B$ 中的任何一个元素 $b$，你总能（至少）找到一个定义域 $A$ 中的元素 $a$，使得 $f(a)=b$。
* 与值域的关系：一个函数是满射的，当且仅当它的值域等于它的上域，即 $f(A)=B$。
* 上域的重要性：一个函数是不是满射，完全取决于你如何设定它的上域 $B$。例如，$f(x)=x^2$ 作为 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 不是满射（因为负数没被覆盖），但作为 $f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty)$ 就是满射。
3. 双射 (Bijective) / 一对一对应 (One-to-one correspondence)：
* 核心思想：完美的配对。
* 定义：函数 $f$ 同时满足内射和满射两个条件。
* 效果：定义域 $A$ 和上域 $B$ 中的元素被完美地、不多不少地一一配对起来。
* 双射对应的集合：如果两个集合之间可以建立一个双射函数，说明这两个集合的“大小”或“基数”是相同的。$|A|=|B|$。这是比较无穷集合大小的基本方法。
设定义域 $A=\{1, 2, 3\}$，上域 $B=\{x, y, z\}$。
- 内射但非满射: $f_1: A \rightarrow \{w,x,y,z\}$ 定义为 $f_1(1)=x, f_1(2)=y, f_1(3)=z$。
- 内射：不同的输入得到不同的输出。
- 非满射：上域中的 $w$ 没有被任何输入映射到。
- 满射但非内射: $f_2: A \rightarrow \{x, y\}$ 定义为 $f_2(1)=x, f_2(2)=y, f_2(3)=x$。
- 满射：上域中的 $x, y$ 都被映射到了。
- 非内射：不同的输入 $1$ 和 $3$ 得到了相同的输出 $x$。
- 双射: $f_3: A \rightarrow B$ 定义为 $f_3(1)=x, f_3(2)=y, f_3(3)=z$。
- 内射：不同输入对应不同输出。
- 满射：上域 $B$ 中所有元素都被映射到。
- 所以是双射。
- 既非内射也非满射: $f_4: A \rightarrow B$ 定义为 $f_4(1)=x, f_4(2)=x, f_4(3)=y$。
- 非内射：$f_4(1)=f_4(2)$。
- 非满射：$z \in B$ 没有被映射到。
代数函数示例:
- $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$。
- 内射：若 $e^{x_1} = e^{x_2}$，两边取自然对数，得 $x_1=x_2$。所以是内射。
- 非满射：值域是 $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$，不等于上域 $\mathbb{R}$。例如，$-1$ 在上域中，但没有 $x$ 能使得 $e^x=-1$。
- $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x^3-x$。
- 非内射：$g(1)=0, g(0)=0, g(-1)=0$。不同输入得到相同输出。
- 满射：这是一个三次多项式，当 $x \to \infty$ 时 $g(x) \to \infty$，当 $x \to -\infty$ 时 $g(x) \to -\infty$。由于函数是连续的，它会取遍所有实数值。所以是满射。
- $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $h(x)=ax+b$ ($a \neq 0$)。
- 内射：若 $ax_1+b = ax_2+b$，则 $ax_1=ax_2$，因为 $a \neq 0$，所以 $x_1=x_2$。
- 满射：对于任意 $y \in \mathbb{R}$，我们能找到 $x = (y-b)/a$ 使得 $h(x)=y$。
- 所以任何非水平的直线函数都是双射。
- 内射和“一对一”的混用：在很多非正式场合，“一对一”(one-to-one) 可能指内射，也可能指双射。本书明确指出单射是 Injective，而一对一对应是 Bijective，这更为严谨。
- 满射依赖于上域：必须时刻记住，满射不是函数自身的固有属性，而是函数与其指定上域之间关系的属性。
- 空函数：从空集 $\emptyset$ 到任何非空集合 $B$ 的函数是存在的（只有一种，称为空函数），并且它是内射的（因为“每当 $a_1 \neq a_2$”这个条件永远为假，所以整个命题为真），但不是满射的。
- 纤维与性质的关系：
- 一个函数是内射的，当且仅当所有纤维要么是空集，要么是单元素集合。
- 一个函数是满射的，当且仅当所有纤维都不是空集。
内射、满射和双射是描述函数映射行为的三个基本分类。内射保证了不压缩信息（没有多对一），满射保证了完全覆盖目标（没有漏掉的），双射则是一种完美的、可逆的配对。
这三种性质在抽象代数中至关重要。
- 双射是判断两个代数结构是否“同构”（在结构上完全相同）的基础。一个保持结构的双射映射（同构映射）意味着两个结构只是“贴了不同的标签”而已。
- 内射让我们能将一个小的代数结构“嵌入”到一个大的代数结构中（单一同态）。
- 满射让我们能将一个大的代数结构“投影”到一个小的代数结构上，揭示其商结构（满同态）。
这些都是通过函数来理解和关联不同代数对象的基本手段。
想象一场舞会，男士集合 $A$ 与女士集合 $B$ 跳舞，函数 $f$ 是配对规则。
- 内射：没有“一女配多男”的情况。每个跳舞的女士只与一位男士配对。但可能有些女士在旁边休息，没被配对。
- 满射：所有女士都被邀请跳舞了，舞池里没有休息的女士。但可能存在“一女配多男”的情况（如果男士比女士多）。
- 双射：完美搭配！每个男士都与一位且仅一位女士配对，而且所有女士都下场跳舞了。男士和女士人数正好相等。
(4) 如果存在一个函数 $g: B \rightarrow A$ 使得 $g \circ f: A \rightarrow A$ 是 $A$ 上的恒等映射，即对于所有 $a \in A$，$(g \circ f)(a)=a$，则 $f$ 具有左逆。
(5) 如果存在一个函数 $h: B \rightarrow A$ 使得 $f \circ h: B \rightarrow B$ 是 $B$ 上的恒等映射，则 $f$ 具有右逆。
这部分从复合函数的角度来定义“逆”的概念。
1. 恒等映射 (Identity Map)：
* 在一个集合 $S$ 上的恒等映射，通常记作 $id_S$，是一个从 $S$ 到 $S$ 的函数，它什么也不做。$id_S(s) = s$ 对所有 $s \in S$ 成立。
2. 左逆 (Left Inverse)：
* 函数 $f: A \rightarrow B$ 有一个左逆 $g: B \rightarrow A$，如果先把 $f$ 作用，再把 $g$ 作用，最终等于什么都没做，回到了起点。
* $g \circ f = id_A$。
* 这意味着对于任何 $a \in A$，都有 $g(f(a))=a$。
* 这就像 $g$ 能“撤销” $f$ 的操作。
3. 右逆 (Right Inverse)：
* 函数 $f: A \rightarrow B$ 有一个右逆 $h: B \rightarrow A$，如果先把 $h$ 作用，再把 $f$ 作用，最终等于在 $B$ 上什么都没做。
* $f \circ h = id_B$。
* 这意味着对于任何 $b \in B$，都有 $f(h(b))=b$。
* 这就像 $h$ 能为 $f$ 的任何一个目标“找到一个源头”。
设 $A=\{1, 2\}$, $B=\{x, y, z\}$。
示例1：左逆 (对应内射)
- 设 $f: A \rightarrow B$ 为 $f(1)=x, f(2)=y$。这是个内射函数。
- 我们可以定义一个左逆 $g: B \rightarrow A$。
- $g(x)=1$, $g(y)=2$。
- 对于 $z$，我们可以随便定义，比如 $g(z)=1$。
- 验证：
- $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(x) = 1$。
- $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(y) = 2$。
- 所以 $g \circ f = id_A$。$g$ 是 $f$ 的一个左逆。
- 注意：左逆不唯一。我们也可以定义 $g'(z)=2$，得到另一个左逆 $g'$。
示例2：右逆 (对应满射)
- 设 $A=\{p, q, r\}$, $B=\{x, y\}$。
- 设 $h: A \rightarrow B$ 为 $h(p)=x, h(q)=y, h(r)=x$。这是个满射函数。
- 我们可以定义一个右逆 $k: B \rightarrow A$。
- 对于 $x \in B$，它的纤维是 $\{p, r\}$。我们必须为 $k(x)$ 选择其中一个，比如我们选 $p$。所以 $k(x)=p$。
- 对于 $y \in B$，它的纤维是 $\{q\}$。我们必须选 $q$。所以 $k(y)=q$。
- 这个 $k$ 就是一个从 $B$ 到 $A$ 的函数。
- 验证：
- $(h \circ k)(x) = h(k(x)) = h(p) = x$。
- $(h \circ k)(y) = h(k(y)) = h(q) = y$。
- 所以 $h \circ k = id_B$。$k$ 是 $h$ 的一个右逆。
- 注意：右逆不唯一。我们也可以定义 $k'(x)=r$，得到另一个右逆 $k'$。
- 单侧逆的不唯一性：当函数只是内射而非双射，或者只是满射而非双射时，其左逆或右逆通常不唯一。
- 存在性：不是所有函数都有左逆或右逆。没有左逆的函数不是内射的，没有右逆的函数不是满射的。
左逆和右逆是通过函数复合来定义的逆的概念。左逆可以“撤销”原函数的操作，回到定义域的恒等映射。右逆可以“预备”输入，使得原函数作用后得到上域的恒等映射。
将函数的内射和满射性质与左逆和右逆的存在性联系起来，是通往更抽象代数观点的重要一步。它将一个看似几何的性质（映射的样子）转化为了一个纯粹的代数性质（某个方程是否有解）。这种代数化的思想是抽象代数的核心方法论之一。下面的命题将正式建立这种联系。
- $f$ 是一个编码过程，它的逆是解码过程。
- 左逆 $g$：你把信息 $a$ 编码成 $f(a)$，然后通过 $g$ 解码，还能完美地恢复成 $a$。这意味着编码过程 $f$ 没有丢失任何信息（内射）。
- 右逆 $h$：对于任何可能的目标信息 $b$，你都能通过 $h$ 找到一个“假”的源信息 $h(b)$，然后用 $f$ 编码它，就能精确地得到 $b$。这意味着编码过程 $f$ 的能力足以产生所有可能的目标信息（满射）。
命题 1。设 $f: A \rightarrow B$。
(1) 映射 $f$ 是内射当且仅当 $f$ 具有左逆。
(2) 映射 $f$ 是满射当且仅当 $f$ 具有右逆。
(3) 映射 $f$ 是双射当且仅当存在 $g: B \rightarrow A$ 使得 $f \circ g$ 是 $B$ 上的恒等映射且 $g \circ f$ 是 $A$ 上的恒等映射。
(4) 如果 $A$ 和 $B$ 是具有相同元素数量的有限集合（即 $|A|=|B|$），则 $f: A \rightarrow B$ 是双射当且仅当 $f$ 是内射当且仅当 $f$ 是满射。
证明：练习。
在上述命题的第 (3) 部分中，映射 $g$ 必然是唯一的，我们称 $g$ 是 $f$ 的双侧逆（或简称逆）。
这个命题是前面所有概念的一个重要小结，它将函数的几何性质（内射/满射）和代数性质（左逆/右逆的存在）完全等价了起来。
1. 内射 $\iff$ 左逆:
* 一个函数是内射的，和它有一个左逆，是同一件事。
* ($\Rightarrow$) 如果 $f$ 是内射的，我们可以构造一个左逆 $g$。对于值域 $f(A)$ 中的每个元素 $y$，由于 $f$ 是内射，有唯一的 $x$ 使得 $f(x)=y$，我们就定义 $g(y)=x$。对于不在值域中的元素， $g$ 可以把它们随便映射到 $A$ 中任何一个元素。这样构造的 $g$ 满足 $g(f(x))=x$。
* ($\Leftarrow$) 如果 $f$ 有左逆 $g$，那么若 $f(a_1)=f(a_2)$，我们可以对两边同时作用 $g$，得到 $g(f(a_1))=g(f(a_2))$。根据左逆定义，这等于 $a_1=a_2$。这就证明了 $f$ 是内射的。
2. 满射 $\iff$ 右逆:
* 一个函数是满射的，和它有一个右逆，是同一件事。
* ($\Rightarrow$) 如果 $f$ 是满射的，对于上域 $B$ 中的任何一个元素 $b$，它的纤维 $f^{-1}(\{b\})$ 都不是空的。我们可以构造一个右逆 $h$，方法是：对于每个 $b \in B$，从它的非空纤维中选择一个元素，作为 $h(b)$ 的值。（这里隐式地使用了选择公理）。这样构造的 $h$ 满足 $f(h(b))=b$。
* ($\Leftarrow$) 如果 $f$ 有右逆 $h$，那么对于任何 $b \in B$，我们都能找到一个 $a \in A$（就是 $h(b)$），使得 $f(a)=f(h(b))=b$。这正是满射的定义。
3. 双射 $\iff$ 双侧逆:
* 一个函数是双射的，当且仅当它既有左逆又有右逆，并且这个左逆和右逆是同一个函数 $g$。
* 这个函数 $g$ 被称为 $f$ 的逆函数，记作 $f^{-1}$。
* 这个逆函数 $g$ 是唯一的。证明：假设 $g_1, g_2$ 都是 $f$ 的逆。那么 $g_1 = g_1 \circ id_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = id_A \circ g_2 = g_2$。所以 $g_1=g_2$。
4. 有限集合上的特殊情况 (鸽巢原理)：
* 这个性质只对有限且等势（元素个数相同）的集合之间的映射成立。
* 如果两个有限集合的“容量”一样大，那么从一个到另一个的映射，只要满足内射、满射、双射三者中的任何一个，另外两个就自动成立。
- 内射 $\Rightarrow$ 满射：如果你有 $n$ 个不同的东西（内射），要放进 $n$ 个不同的坑里，那么每个坑必然都恰好被占了一个（满射）。
- 满射 $\Rightarrow$ 内射：如果你用 $n$ 个东西填满了 $n$ 个坑（满射），那么必然不可能有两个东西在同一个坑里（内射），否则就会有空坑。
* 重要：这个性质对无穷集合不成立！例如，$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $f(n)=2n$ 是内射的，但不是满射的。
有限集合示例 (Part 4):
- 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{x,y,z\}$。$|A|=|B|=3$。
- 内射 $\Rightarrow$ 双射: 设 $f: A \rightarrow B$ 是内射的，例如 $f(1)=x, f(2)=y, f(3)=z$。值域是 $\{x,y,z\}$，大小为3。因为值域是上域 $B$ 的子集，且大小与 $B$ 相同，所以值域必定等于上域 $B$。因此 $f$ 是满射的。由于 $f$ 既内射又满射，所以是双射。
- 满射 $\Rightarrow$ 双射: 设 $g: A \rightarrow B$ 是满射的。这意味着 $A$ 中至少有3个元素的像，才可能覆盖 $B$ 中所有的3个元素。但 $A$ 总共就只有3个元素，所以这3个元素必须映射到3个不同的值，否则无法覆盖 $B$。因此 $g$ 必然是内射的。由于 $g$ 既满射又内射，所以是双射。
- 对无穷集合滥用 Part 4：这是最常见的错误。再次强调，对于无穷集合，$|A|=|B|$ 时，内射不一定满射，满射也不一定内射。
- 内射非满射: $f:\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+, f(n)=n+1$。
- 满射非内射: $g:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, g(n) = \lfloor n/2 \rfloor$ (向下取整)。
- 混淆逆像符号 $f^{-1}(C)$ 和逆函数 $f^{-1}$：在命题(3)之后，符号 $f^{-1}$ 开始有了双重含义。如果 $f$ 是双射， $f^{-1}$ 可以指那个唯一的逆函数。但在一般情况下，$f^{-1}(...)$ 仍然是指原像（一个集合）。必须根据上下文判断。
命题1是函数理论的一个基石。它深刻地揭示了：内射性等价于存在左逆，满射性等价于存在右逆，而双射性等价于存在一个唯一的、双侧的逆函数。对于元素个数相同的有限集合，这三个性质是等价的。
这个命题为后续的代数研究提供了强有力的工具。它允许我们在“几何”的映射性质和“代数”的逆的存在性之间自由切换。例如，要证明一个群同构（一个保持结构的双射），我们可以去构造一个保持结构的逆函数，然后证明它们的复合是恒等映射。这通常比直接证明内射和满射更容易。 Part 4 在组合数学和有限群论中也极其有用。
- 内射 $\iff$ 左逆: 你的编码过程 $f$ 是无损的（内射），当且仅当你能造一个解码器 $g$ 把编码后的 $f(a)$ 还原成 $a$（左逆）。
- 满射 $\iff$ 右逆: 你的编码过程 $f$ 能产生所有可能的目标（满射），当且仅当你对任何一个目标 $b$，都能找到一个源头 $h(b)$，编码后恰好得到 $b$（右逆）。
- 双射 $\iff$ 双侧逆: 你的编码过程 $f$ 是完美的一一对应（双射），当且仅当你有一个完美的解码器 $g$，它既能作为左逆（解码），又能作为右逆（找源头），并且是唯一的。
- Part 4: 在一个“萝卜”和“坑”数量相等的有限场景里，“每个萝卜都有自己的坑”（内射）和“每个坑里都有一个萝卜”（满射）其实说的是一回事。
集合 $A$ 的置换（permutation）就是从 $A$ 到自身的一个双射。
这是一个非常重要的定义。
- 什么是置换：一个置换本质上是一个函数。
- 函数的类型：这个函数非常特殊，它是一个从某个集合 $A$ 到其自身的双射函数，即 $f: A \rightarrow A$ 且 $f$ 是双射。
- 作用：一个置换的作用就是把集合 $A$ 内部的元素重新排列或“洗牌”。因为是双射，所以保证了没有元素被漏掉，也没有元素被复制，只是位置发生了改变。
示例1
- 设集合 $A = \{1, 2, 3\}$。
- 一个置换 $\sigma: A \rightarrow A$ 可以是：
- $\sigma(1) = 2$
- $\sigma(2) = 3$
- $\sigma(3) = 1$
- 这个置换把 1 移动到 2 的位置，2 移动到 3 的位置，3 移动到 1 的位置。这形成了一个循环。
- 这显然是一个双射：
- 内射：$1,2,3$ 的像 $2,3,1$ 各不相同。
- 满射：值域 $\{2,3,1\}$ 等于上域 $\{1,2,3\}$。
- 另一种常见的表示法是柯西双行表示法：
上面一行是输入，下面一行是对应的输出。
示例2
- 在同一个集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 上。
- 另一个置换 $\tau: A \rightarrow A$ 可以是：
- $\tau(1) = 2$
- $\tau(2) = 1$
- $\tau(3) = 3$
- 这个置换交换了 1 和 2，但保持 3 不动。
- 表示为：
- 恒等置换：什么都不做的置换也是一个置换，称为恒等置换 $id$。
- $id(1)=1, id(2)=2, id(3)=3$。
- $id = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$。
- 置换的定义域和上域必须是同一个集合。
- 置换必须是双射。例如 $f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ 定义为 $f(x)=1$ 对所有 $x$ 成立，这不是一个置换。
- 对于一个有 $n$ 个元素的有限集合，总共有 $n!$ (n的阶乘) 个不同的置换。例如，对于 $A=\{1,2,3\}$，有 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 个置换。
置换是对一个集合内的元素进行重新排列的一种数学形式化描述，其本质是一个从该集合到其自身的双射函数。
置换是群论的起源和核心范例。对于一个集合 $A$，其上所有置换的集合，在函数复合这个运算下，构成了一个非常重要的代数结构——对称群 (Symmetric Group)，记作 $S_A$（如果 $A=\{1, ..., n\}$，则记作 $S_n$）。研究对称群的性质是理解所有有限群的关键（凯莱定理），因此置换的概念是进入群论学习的门户。
- 置换：一套洗牌的动作。
- 集合A：一副扑克牌。
- 一个置换就是你对这副牌执行的一种特定的、无重复、无遗漏的重新排列方式。
- 函数复合：连续做两种不同的洗牌动作。
- 对称群：所有可能的洗牌动作的集合。
如果 $A \subseteq B$ 且 $f: B \rightarrow C$，我们用 $\left.f\right|_{A}$ 表示 $f$ 对 $A$ 的限制。当我们所考虑的定义域是明确的，即使这些是形式上不同的函数（它们的定义域不同），我们偶尔也会将 $\left.f\right|_{A}$ 再次简单地表示为 $f$。
如果 $A \subseteq B$ 且 $g: A \rightarrow C$，并且存在一个函数 $f: B \rightarrow C$ 使得 $\left.f\right|_{A}=g$，我们将称 $f$ 是 $g$ 到 $B$ 的扩张（这样的映射 $f$ 不一定存在，也不一定唯一）。
这部分介绍了两个互为逆操作的概念：限制和扩张。
1. 限制 (Restriction)：
* 情景：你有一个定义在某个大集合 $B$ 上的函数 $f$。现在你只关心这个函数在 $B$ 的一个子集 $A$ 上的表现。
* 操作：创建一个新函数，记作 $\left.f\right|_{A}$。
* 新函数的定义：
- 它的定义域是子集 $A$。
- 它的上域和原函数 $f$ 相同，都是 $C$。
- 它的映射规则和原函数 $f$ 在 $A$ 上的规则完全一样。即对于任何 $a \in A$，$\left.f\right|_{A}(a) = f(a)$。
* 本质：就是把函数的定义域“缩小”。
* 符号滥用：作者提到，有时为了方便，即使我们讨论的是限制后的函数 $\left.f\right|_{A}$，我们可能仍然只写 $f$。这要求读者根据上下文来判断当前 $f$ 的实际定义域是哪个。
2. 扩张 (Extension)：
* 情景：你有一个只定义在小集合 $A$ 上的函数 $g$。你想把它变成一个定义在更大的集合 $B$（其中 $A \subseteq B$）上的函数 $f$。
* 操作：找到或构造一个新函数 $f: B \rightarrow C$。
* 要求：这个新函数 $f$ 在小集合 $A$ 上的行为必须和原来的 $g$ 完全一样。用限制的语言来说，就是 $\left.f\right|_{A}=g$。
* 本质：就是把函数的定义域“扩大”。
* 存在性和唯一性：扩张不总是存在的，即便存在，也通常不唯一。因为对于那些在 $B$ 中但不在 $A$ 中的元素（即 $B \setminus A$），你可以把它们映射到 $C$ 中的任何元素，从而得到不同的扩张。
示例1：限制
- 设函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为 $f(x)=x^2$。
- 设子集 $A = \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\}$。
- $f$ 对 $A$ 的限制是 $\left.f\right|_{A}: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{R}$，其规则是 $\left.f\right|_{A}(n)=n^2$。
- 原函数 $f$ 不是内射的（例如 $f(-2)=f(2)=4$）。
- 但限制后的函数 $\left.f\right|_{\mathbb{Z}^+}$ 是内射的，因为对于不同的正整数，它们的平方也不同。
- 这说明通过限制定义域，可以改变函数的性质。
示例2：扩张
- 设函数 $g: \{0, 1\} \rightarrow \mathbb{R}$ 为 $g(0)=1, g(1)=-1$。
- 我们想把它扩张到整个 $\mathbb{R}$ 上，即找到一个 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 使得 $\left.f\right|_{\{0,1\}} = g$。
- 一个可能的扩张：$f_1(x) = \cos(\pi x)$。
- 验证：$f_1(0)=\cos(0)=1=g(0)$，$f_1(1)=\cos(\pi)=-1=g(1)$。所以 $f_1$ 是 $g$ 的一个扩张。
- 另一个可能的扩张：$f_2(x) = 1-2x$。
- 验证：$f_2(0)=1-0=1=g(0)$，$f_2(1)=1-2=-1=g(1)$。所以 $f_2$ 也是 $g$ 的一个扩张。
- 无数个扩张：我们可以定义 $f_3(x)$ 如下：如果 $x=0, f_3(x)=1$; 如果 $x=1, f_3(x)=-1$; 对于其他所有 $x$，让 $f_3(x)=42$。这也是一个合法的扩张。
- 这说明扩张通常不唯一。
- 形式上是不同函数：$f$ 和 $\left.f\right|_{A}$ 是两个不同的函数，因为它们的定义域不同。但在实践中，为了简洁，常常会混用。
- 扩张的存在性：并非总能扩张。例如，如果一个性质（如连续性）被要求在扩张后的函数上保持，那么可能不存在这样的扩张。
限制是“裁剪”一个函数的定义域，只关注其在子集上的行为。扩张是“延伸”一个函数的定义域，使其能处理更大的输入范围，同时保持在原子集上的行为不变。
这两个概念在高等数学中非常普遍。
- 限制：允许我们通过研究一个复杂函数在更简单、结构更好的子集上的行为，来推断其局部性质。例如，在复分析中，研究一个复变函数在实轴上的限制。
- 扩张：这是许多重要数学定理的核心主题。例如，分析学中的“函数延拓”就是要将一个只在某个区域有良好定义的解析函数，尽可能地扩张到更大的复平面区域。代数中的例子是，是否能将一个定义在整环上的运算，扩张到其分式域上。
- 限制：你有一个全国范围的政策 $f$（例如，全国统一邮费标准）。现在你只想研究这个政策在“北京市”$A$ 的具体实施情况，这就是 $\left.f\right|_{A}$。
- 扩张：你有一个只在“北京市”$A$ 实施的试点政策 $g$（例如，垃圾分类规定）。现在你想把它推广为全国性政策 $f$，要求是在北京市内，新政策 $f$ 的规定必须和旧的试点政策 $g$ 完全一样。至于北京以外的地区如何规定，你有很大的自由度，从而可以制定出不同的全国政策 $f_1, f_2, \ldots$。
设 $A$ 是一个非空集合。
(1) 集合 $A$ 上的二元关系是 $A \times A$ 的一个子集 $R$，如果 $(a, b) \in R$，我们记作 $a \sim b$。
这部分将“关系”这个日常概念进行了数学上的精确定义。
1. 二元关系 (Binary Relation)：一个二元关系是用来描述一个集合内部元素之间是否存在某种联系的方式。
2. 数学定义：在集合 $A$ 上的一个二元关系 $R$，被严格定义为笛卡尔积 $A \times A$ 的一个子集。
3. 理解定义：
* $A \times A$ 包含了所有可能的元素对 $(a, b)$，其中 $a, b$ 都来自 $A$。
* 一个关系 $R$ 就是从所有这些可能的配对中，挑出一部分。
* 如果一对元素 $(a, b)$ 被挑中了，即 $(a, b) \in R$，我们就说 "$a$ 与 $b$ 有关系 $R$"。
4. 关系符号 $\sim$：
* 为了更自然地书写，我们通常不用集合的写法 $(a, b) \in R$，而是用一个中缀符号来表示关系，最通用的就是波浪号 $\sim$。
* $a \sim b$ 和 $(a, b) \in R$ 是完全等价的。
* 根据具体的关系，我们也会用其它符号，比如 $<, \le, =, |$ (整除) 等。
示例1：小于关系
- 设集合 $A = \{1, 2, 3\}$。
- $A \times A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$。
- 我们定义一个“小于”关系，用符号 $<$ 表示。
- 这个关系对应的子集 $R_<$ 是什么呢？我们挑出所有满足 $a < b$ 的配对 $(a, b)$。
- $R_< = \{(1, 2), (1, 3), (2, 3)\}$。
- 所以，$(1, 2) \in R_<$ 等价于 $1 < 2$。
- $(2, 1) \notin R_<$，因为 $2 < 1$ 不成立。
示例2：整除关系
- 设集合 $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
- 我们定义一个“整除”关系，用符号 $|$ 表示。$a|b$ 意为 "$a$ 整除 $b$"。
- 这个关系对应的子集 $R_|$ 是所有满足 $a$ 能整除 $b$ 的配对 $(a, b)$。
- $R_| = \{(1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)\}$。
- 例如，$(2, 6) \in R_|$ 因为 $2|6$。
- $(3, 5) \notin R_|$ 因为 3 不能整除 5。
- 关系是有向的：因为基础是有序对 $(a, b)$，所以 $a \sim b$ 和 $b \sim a$ 是两回事。例如，在小于关系中，$1<2$ 成立，但 $2<1$ 不成立。
- 关系就是集合：从根本上说，一个关系就是一个有序对的集合。这种看似奇怪的定义，好处是把所有类型的关系都统一到了集合论的框架下，非常便于进行严格的逻辑推理。
一个集合上的二元关系，被精确地定义为该集合与自身的笛卡尔积的一个子集。这个子集明确地列出了所有满足该关系的有序元素对。
关系是构建代数结构的基础。等价关系（下面会讲到）是定义商集、同余类等核心概念的工具。序关系（如 $\le$）则引出格、序理论等其他代数分支。将关系形式化为集合，是进行严格数学研究的第一步。
- 集合A: 班级里的所有同学。
- 笛卡尔积 $A \times A$: 所有可能的“甲同学指向乙同学”的配对名单。
- 一个二元关系 $R$: 一份具体的名单子集。例如，“暗恋关系” $R_{crush}$。如果 (张三, 李四) $\in R_{crush}$，就表示张三暗恋李四。这不代表李四也暗恋张三。
(2) 集合 $A$ 上的关系 $\sim$ 被称为：
(a) 自反的，如果对于所有 $a \in A$，有 $a \sim a$，
(b) 对称的，如果对于所有 $a, b \in A$， $a \sim b$ 蕴含 $b \sim a$，
(c) 传递的，如果对于所有 $a, b, c \in A$， $a \sim b$ 且 $b \sim c$ 蕴含 $a \sim c$。
如果一个关系是自反、对称和传递的，则它是一个等价关系。
这部分定义了一种非常特殊的、性质良好的关系——等价关系 (Equivalence Relation)。它必须同时满足三个性质：
1. 自反性 (Reflexive)：
* 要求：每个元素都与它自身有关系。$a \sim a$。
* 直观意义：自己等于自己。
* 集合角度：关系 $R$ 必须包含所有的对角线元素 $(a, a)$。
2. 对称性 (Symmetric)：
* 要求：如果 $a$ 与 $b$ 有关系，那么 $b$ 也必须与 $a$ 有关系。$a \sim b \implies b \sim a$。
* 直观意义：关系是双向的，没有方向性。
* 集合角度：如果 $(a, b) \in R$，那么 $(b, a)$也必须在 $R$ 中。
3. 传递性 (Transitive)：
* 要求：如果 $a$ 与 $b$ 有关系，且 $b$ 与 $c$ 有关系，那么 $a$ 必须与 $c$ 有关系。$(a \sim b \text{ and } b \sim c) \implies a \sim c$。
* 直观意义：关系可以“传递”或“搭桥”。
* 集合角度：如果 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in R$，那么 $(a, c)$ 也必须在 $R$ 中。
一个关系同时满足这三个“好”性质，就被称为等价关系。等价关系本质上是对“等于”这个概念的推广。
示例1：模n同余关系 (最重要的例子)
- 设集合为整数集 $\mathbb{Z}$，并固定一个正整数 $n$ (比如 $n=5$)。
- 定义关系 $\sim$ 为：$a \sim b$ 当且仅当 $a$ 和 $b$ 除以 5 的余数相同。这等价于 $5 | (a-b)$。
- 检查性质:
- 自反性：对任意整数 $a$，$a-a=0$，$5|0$ 成立。所以 $a \sim a$。
- 对称性：如果 $a \sim b$，则 $5 | (a-b)$。这意味着 $a-b = 5k$。那么 $b-a = -5k = 5(-k)$，所以 $5 | (b-a)$。因此 $b \sim a$。
- 传递性：如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $5 | (a-b)$ 且 $5 | (b-c)$。这意味着 $a-b=5k_1$，$b-c=5k_2$。两式相加，$(a-b)+(b-c) = 5k_1+5k_2$，即 $a-c = 5(k_1+k_2)$。所以 $5|(a-c)$。因此 $a \sim c$。
- 结论：模5同余是一个等价关系。
示例2：小于等于关系 ($\le$)
- 设集合为实数集 $\mathbb{R}$。
- 检查性质:
- 自反性：$a \le a$ 成立。
- 对称性：$a \le b$ 是否蕴含 $b \le a$？不一定。例如 $3 \le 5$，但 $5 \le 3$ 不成立。所以不满足对称性。
- 传递性：如果 $a \le b$ 且 $b \le c$，则 $a \le c$ 成立。
- 结论：因为不满足对称性，所以 $\le$ 不是等价关系。（它是一种“偏序关系”）。
示例3：生日相同关系
- 设集合为“世界上所有的人”。
- 定义关系 $\sim$ 为：“$a$ 与 $b$ 的生日在同一天”。
- 检查性质:
- 自反性：任何人都和自己的生日在同一天。成立。
- 对称性：如果 A 和 B 生日相同，那么 B 和 A 生日也相同。成立。
- 传递性：如果 A 和 B 生日相同，B 和 C 生日也相同，那么 A 和 C 的生日必然相同。成立。
- 结论：这是一个等价关系。
- 三个性质缺一不可。很多常见的关系（如 $<, \subseteq$）满足自反和传递，但不满足对称。
- 在检查传递性时要小心。例如，关系“是朋友”在社交网络上通常不是传递的：A是B的朋友，B是C的朋友，不代表A就是C的朋友。
等价关系是一种模仿“等于”号行为的特殊关系，它必须同时具备自反、对称、传递三个特性。这种关系的核心作用是用来对集合进行分类。
等价关系的唯一目的就是用来划分集合。它能把一个大集合，根据某种“等价”的标准，完美地分割成若干个互不相交的、装满了“等价”元素的子集（即等价类）。这是构造商集、商群、商环等一系列核心代数概念的基础。可以说，没有等价关系，就没有抽象代数的大半壁江山。
- 等价关系：一台分类机。
- 集合A: 一大堆各种颜色和形状的积木。
- 一个等价关系就是一种分类标准。例如，标准 $\sim$ 是“颜色相同”。
- 自反性：每个积木和自己都是同色的。
- 对称性：如果积木1和积木2同色，那积木2和积木1也同色。
- 传递性：如果积木1和2同色，2和3同色，那1和3也必然同色。
- 这个分类标准（等价关系）最终会把所有积木分到不同的篮子里，每个篮子里装的都是同一种颜色的积木。
(3) 如果 $\sim$ 定义了 $A$ 上的等价关系，那么 $a \in A$ 的等价类定义为 $\{x \in A \mid x \sim a\}$。等价类 $a$ 中的元素被称为与 $a$ 等价。如果 $C$ 是一个等价类，则 $C$ 的任何元素都称为该类的代表元。
(4) $A$ 的划分是非空子集的任何集合族 $\left\{A_{i} \mid i \in I\right\}$（$I$ 为某个索引集），使得
(a) $A=\cup_{i \in I} A_{i}$，且
(b) 对于所有 $i, j \in I$ 且 $i \neq j$，有 $A_{i} \cap A_{j}=\emptyset$，
即 $A$ 是划分中集合的不相交并集。
这部分定义了等价关系的直接产物——等价类，以及与之一体两面的概念——划分。
1. 等价类 (Equivalence Class)：
* 一旦你在集合 $A$ 上有了一个等价关系 $\sim$。
* 对于任何一个元素 $a \in A$，它的等价类（通常记作 $[a]$ 或 $\bar{a}$）是 $A$ 的一个子集。
* 这个子集包含了 $A$ 中所有与 $a$ “等价”的元素。
* 定义：$[a] = \{x \in A \mid x \sim a\}$。
2. 代表元 (Representative)：
* 一个等价类是一个集合。这个集合里的任何一个元素，都可以被选出来作为这个类的“名字”或“代表”。
* 例如，在模5同余中，与2同余的等价类是 $[2] = \{\ldots, -8, -3, 2, 7, 12, \ldots\}$。
* 我们可以称它为“2的等价类”，记作 $[2]$。但我们也可以称它为“7的等价类”，记作 $[7]$，因为 $2 \sim 7$，所以 $[2]$ 和 $[7]$ 是完全相同的集合。
* 2, 7, -3 等都是这个等价类的代表元。
3. 划分 (Partition)：
* 一个划分是将一个大集合 $A$ 切割成一堆小块（子集 $A_i$）的方式。
* 划分的两个条件：
- (a) 并集为全集: 所有小块拼起来，必须能完整地复原整个大集合 $A$，没有遗漏。
- (b) 两两不相交: 任意两个不同的小块之间都没有重叠部分。
* 总结：划分就是把集合 $A$ 表示为一堆互不相交的非空子集的并。
示例1：模3同余的等价类和划分
- 集合 $A = \mathbb{Z}$，关系是模3同余。
- 找等价类:
- 0的等价类 $[0]$：所有除以3余0的数。$[0] = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}$。
- 1的等价类 $[1]$：所有除以3余1的数。$[1] = \{\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots\}$。
- 2的等价类 $[2]$：所有除以3余2的数。$[2] = \{\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots\}$。
- 3的等价类 $[3]$：所有除以3余3（也就是余0）的数。$[3] = \{\ldots, -3, 0, 3, \ldots\}$。我们发现 $[3] = [0]$。
- 结论：这个等价关系只产生了三个不同的等价类：$[0], [1], [2]$。
- 验证划分:
- 这三个等价类都是非空的。
- 它们的并集是 $[0] \cup [1] \cup [2] = \mathbb{Z}$。任何一个整数，其除以3的余数必然是0, 1, 2之一，所以它必然在这三个集合中的某一个里。
- 它们两两不相交。一个数不可能同时余1又余2。$[0] \cap [1] = \emptyset$, $[0] \cap [2] = \emptyset$, $[1] \cap [2] = \emptyset$。
- 所以，集合 $\{[0], [1], [2]\}$ 构成了整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个划分。
示例2：按首字母划分
- 设集合 $A=\{\text{apple}, \text{ant}, \text{boy}, \text{ball}, \text{cat}\}$。
- 定义等价关系 $x \sim y$ 为“x和y有相同的首字母”。
- 等价类:
- $[\text{apple}] = \{\text{apple}, \text{ant}\}$
- $[\text{boy}] = \{\text{boy}, \text{ball}\}$
- $[\text{cat}] = \{\text{cat}\}$
- 这三个等价类 $\{ \{\text{apple}, \text{ant}\}, \{\text{boy}, \text{ball}\}, \{\text{cat}\} \}$ 构成了集合 $A$ 的一个划分。
- 同一个等价类，不同的代表元：$[a]=[b]$ 当且仅当 $a \sim b$。初学者容易误以为 $[a]$ 和 $[b]$ 是不同的集合，而实际上它们可能完全相同。
- 划分中的子集必须非空：这是定义的一部分，空集不能作为划分中的一块。
- 等价类要么完全相同，要么完全不交：两个等价类 $[a]$ 和 $[b]$，它们的关系只有两种可能：要么 $[a] = [b]$，要么 $[a] \cap [b] = \emptyset$。绝不可能“部分重叠”。
等价关系自然地将集合“切”成若干个等价类，每个等价类都聚集了所有相互等价的元素。这些等价类作为整体，形成对原集合的一个划分——即一种不重不漏的分割。
这两个概念揭示了等价关系的核心作用。我们定义等价关系，根本目的就是为了获得其产生的划分。而由所有等价类构成的集合，被称为商集 (Quotient Set)，记作 $A/\sim$。在商集上定义运算，是抽象代数中从已知结构（如整数环 $\mathbb{Z}$）构造新结构（如模n的整数环 $\mathbb{Z}_n$）的根本大法。
- 等价类：还是用积木分类的例子，等价关系是“颜色相同”。等价类就是一个个的篮子，比如“红色积木篮”、“蓝色积木篮”。
- 代表元：为了指代“红色积木篮”，你可以从里面随便拿一个红色的积木出来，指着它说“就是这个颜色的那一篮”。你拿出来的是哪个积木不重要，它都代表了“红色”这一类。
- 划分：所有这些装有不同颜色积木的篮子放在一起，就构成了对你全部积木的一个分类方案，这就是划分。所有积木都被分到某个篮子里了（不漏），而且没有一个积木同时在两个篮子里（不重）。
命题 2。设 $A$ 是一个非空集合。
(1) 如果 $\sim$ 定义了 $A$ 上的等价关系，则 $\sim$ 的等价类构成 $A$ 的一个划分。
(2) 如果 $\left\{A_{i} \mid i \in I\right\}$ 是 $A$ 的一个划分，则 $A$ 上存在一个等价关系，其等价类恰好是集合 $A_{i}, i \in I$。
这个命题正式阐述了一个深刻的对应关系：等价关系和划分是一枚硬币的两面。
1. Part (1): 等价关系 $\Rightarrow$ 划分
* 这部分说，只要你有一个等价关系，你就可以用它来生成一个划分。
* 如何生成：这个划分就是由该等价关系的所有不同的等价类组成的集合。
* 我们在前面的例子中已经验证了这一点：模3同余关系生成了 $\{[0], [1], [2]\}$ 这个划分。
* 证明思路：需要证明两点：(a) 所有等价类的并集是全集（因为每个元素至少和自己等价，所以每个元素都属于某个等价类）；(b) 任意两个不同的等价类不相交（通过反证法，如果它们有共同元素，利用对称性和传递性可以证明它们是同一个等价类）。
2. Part (2): 划分 $\Rightarrow$ 等价关系
* 这部分说，反过来，只要你先把一个集合划分成若干小块，你就可以根据这个划分来定义一个等价关系。
* 如何定义：定义关系 $\sim$ 如下：$a \sim b$ 当且仅当 $a$ 和 $b$ 属于划分中的同一个小块 $A_i$。
* 证明思路：需要证明这样定义的关系满足三条性质：
- 自反性：$a \sim a$？因为 $a$ 总和自己在同一个块里。成立。
- 对称性：若 $a, b$ 在同一个块，则 $b, a$ 也在同一个块。成立。
- 传递性：若 $a, b$ 在同一个块 $A_i$， $b, c$ 在同一个块 $A_j$。因为划分的块之间不相交，而 $b$ 同时在 $A_i$ 和 $A_j$ 中，所以必然 $A_i = A_j$。因此 $a,c$ 也在同一个块里。成立。
* 这个关系产生的等价类，正好就是你一开始给出的那些划分块 $A_i$。
从划分到等价关系
- 设集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
- 给定一个划分 $P = \{ \{1, 5\}, \{2, 3, 6\}, \{4\} \}$。
- 根据这个划分定义等价关系 $\sim$：当 $x, y$ 在同一个子集里时，$x \sim y$。
- 关系：
- $1 \sim 5$ 且 $5 \sim 1$。
- $2 \sim 3, 2 \sim 6, 3 \sim 6$ (以及它们对称和传递闭包下的所有关系)。
- $4 \sim 4$。
- 例如，$1 \not\sim 2$ 因为它们不在同一个块里。
- 这个关系产生的等价类是什么？
- $[1] = \{x \in A \mid x \sim 1\} = \{1, 5\}$。
- $[2] = \{x \in A \mid x \sim 2\} = \{2, 3, 6\}$。
- $[4] = \{x \in A \mid x \sim 4\} = \{4\}$。
- 结论：产生的等价类集合正是我们开始时给定的划分 $P$。
命题2建立了等价关系和划分之间的一一对应关系。给出一个等价关系，就能唯一确定一个划分；反之，给出一个划分，也能唯一确定一个等价关系。它们是描述同一件事情的两种不同语言。
这个命题是整个商集理论的合法性基石。它告诉我们，当我们谈论“把集合按某种等价标准分类”时，我们既可以从“关系”的角度出发，也可以从“分割”的角度出发，两者是完全等价的，可以根据哪个更方便就用哪个。这为我们后续构造商群等结构时，在等价类和它的代表元之间进行操作提供了理论保障。
- 硬币的两面
- 正面（等价关系）：你有一套规则，告诉你哪些东西是“一样”的（例如，“颜色相同”）。
- 反面（划分）：你有一堆分好类的篮子。
- 命题2说：你可以通过规则，把东西分到篮子里去。也可以看着分好的篮子，反推出当初分类的规则是“在同一个篮子里的东西就是一样的”。这两个操作是互逆的。
最后，我们将假设读者熟悉归纳法证明。
这句话是一个声明，作者将不再详细解释数学归纳法，并默认读者已经掌握了它。
数学归纳法 (Proof by Induction) 是一种用来证明关于自然数（或正整数）的命题 $P(n)$ 对所有 $n \ge n_0$ 都成立的证明方法。
它通常包含两个步骤：
1. 基础步骤 (Base Case)：证明命题对于起始值成立。即证明 $P(n_0)$ 是真的。通常 $n_0=0$ 或 $n_0=1$。
2. 归纳步骤 (Inductive Step)：证明如果命题对某个任意的 $k$ 成立，那么它也必然对下一个值 $k+1$ 成立。即证明 “如果 $P(k)$ 为真，则 $P(k+1)$ 也为真” 这个蕴含关系。
* 在这个证明中，我们假设 $P(k)$ 为真，这个假设被称为归纳假设 (Inductive Hypothesis)。
如果这两个步骤都完成了，那么根据多米诺骨牌效应，命题对所有大于等于 $n_0$ 的自然数都成立。因为 $P(n_0)$ 真 $\implies P(n_0+1)$ 真 $\implies P(n_0+2)$ 真，以此类推。
命题：证明对于所有正整数 $n \ge 1$，都有 $1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$。
令 $P(n)$ 为 "$1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$"。
证明：
1. 基础步骤：当 $n=1$ 时。
- 左边 = $1$。
- 右边 = $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$。
- 左边 = 右边，所以 $P(1)$ 成立。
2. 归纳步骤：假设对于某个正整数 $k \ge 1$，$P(k)$ 成立。
- 归纳假设：$1+2+3+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}$。
- 目标：我们需要证明 $P(k+1)$ 也成立，即证明 $1+2+3+\ldots+k+(k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
- 推导：
- 从 $P(k+1)$ 的左边开始：
$1+2+3+\ldots+k+(k+1)$
- 根据归纳假设，我们可以把前 $k$ 项替换掉：
$= (\frac{k(k+1)}{2}) + (k+1)$
- 通分，合并：
$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$
- 提取公因式 $(k+1)$：
$= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
- 这正是我们想要证明的 $P(k+1)$ 的右边。
- 结论：由于基础步骤和归纳步骤都已完成，根据数学归纳法，该命题对所有正整数 $n \ge 1$ 成立。
- 忘记基础步骤：归纳步骤本身只能证明“如果一张牌倒了，下一张也会倒”，但如果没有推倒第一张牌，那什么都不会发生。
- 归纳步骤的逻辑混乱：在归纳步骤中，我们不能直接假设 $P(k+1)$ 成立，而是要从已知的 $P(k)$ 出发，通过逻辑推导，得到 $P(k+1)$。
- 强归纳法：有时，为了证明 $P(k+1)$，仅假设 $P(k)$ 成立是不够的，我们需要假设从 $P(n_0)$ 到 $P(k)$ 所有的都成立。这种形式称为强归纳法，它与普通归纳法是等价的。
作者声明，数学归纳法是进行后续学习所需的一项预备技能，本书将直接使用它而不作解释。
在代数中，许多关于整数、多项式次数、矩阵大小等与自然数相关的命题，都需要用归纳法来证明。例如，证明二项式定理、证明关于置换的某些性质、证明与有限群阶相关的定理等。这是一个基础且强大的证明工具。
- 多米诺骨牌：
- 基础步骤：你亲手推倒了第一张骨牌。
- 归纳步骤：你证明了，任意一张骨牌倒下，都必定会撞倒它的下一张（因为它们摆放得足够近）。
- 结论：整排骨牌都会倒下。
在练习 1 到 4 中，设 $\mathcal{A}$ 是具有实数项的 $2 \times 2$ 矩阵的集合。回顾矩阵乘法定义为
设
并设
这部分为接下来的4个练习题设置了统一的背景。
1. 全集 $\mathcal{A}$：这是我们讨论的“宇宙”。它包含了所有 $2 \times 2$ 尺寸的，且其四个元素 $a,b,c,d$ 都是实数的矩阵。
2. 矩阵乘法：复习了 $2 \times 2$ 矩阵乘法的规则。第一个矩阵的行，乘以第二个矩阵的列，然后相加。例如，结果中左上角的元素 $(ap+br)$，是用第一个矩阵的第一行 $(a, b)$ 和第二个矩阵的第一列 $(p, r)$ 计算得到的。
3. 特殊矩阵 $M$：在所有 $2 \times 2$ 矩阵中，挑选出了一个具体的矩阵 $M=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ 作为参考。
4. 子集 $\mathcal{B}$：这是练习的核心研究对象。它是 $\mathcal{A}$ 的一个子集，使用了我们之前学过的集合构建范式来定义。
* 一个矩阵 $X$ 要想成为 $\mathcal{B}$ 的成员，它首先必须是 $\mathcal{A}$ 的成员（即一个 $2 \times 2$ 实数矩阵）。
* 其次，它必须满足一个条件：$MX=XM$。
* $MX=XM$ 这个条件意味着矩阵 $X$ 与矩阵 $M$ 的乘法是可交换的 (commute)。
* 通常，矩阵乘法是不可交换的，即 $AB \neq BA$。所以，$\mathcal{B}$ 是所有那些能与 $M$ 交换的特殊矩阵的集合。这个集合在代数上称为 $M$ 的中心化子 (centralizer)。
- 结果矩阵的 (1,1) 位置 (第一行, 第一列): $a p+b r$
- 取左边矩阵的第1行 $(a, b)$。
- 取右边矩阵的第1列 $\left(\begin{array}{l}p \\ r\end{array}\right)$。
- 对应元素相乘再相加: $a \times p + b \times r$。
- 结果矩阵的 (1,2) 位置 (第一行, 第二列): $a q+b s$
- 取左边矩阵的第1行 $(a, b)$。
- 取右边矩阵的第2列 $\left(\begin{array}{l}q \\ s\end{array}\right)$。
- 对应元素相乘再相加: $a \times q + b \times s$。
- 结果矩阵的 (2,1) 位置 (第二行, 第一列): $c p+d r$
- 取左边矩阵的第2行 $(c, d)$。
- 取右边矩阵的第1列 $\left(\begin{array}{l}p \\ r\end{array}\right)$。
- 对应元素相乘再相加: $c \times p + d \times r$。
- 结果矩阵的 (2,2) 位置 (第二行, 第二列): $c q+d s$
- 取左边矩阵的第2行 $(c, d)$。
- 取右边矩阵的第2列 $\left(\begin{array}{l}q \\ s\end{array}\right)$。
- 对应元素相乘再相加: $c \times q + d \times s$。
练习1-4要求我们研究能与特定矩阵 $M$ 进行交换乘法的 $2 \times 2$ 矩阵所构成的集合 $\mathcal{B}$ 的性质。
1. 确定以下 $\mathcal{A}$ 中的哪些元素在 $\mathcal{B}$ 中：
这个练习要求我们逐个检查给定的6个矩阵，判断它们是否满足加入集合 $\mathcal{B}$ 的条件，即 $MX=XM$。
我们的 $M = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$。
对于每个给定的矩阵 $X$，我们都需要计算 $MX$ 和 $XM$，然后比较结果是否相等。
1. $X = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ (就是 M 本身)
- $MX = M M = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1 \\ 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$。
- $XM = M M = \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$。
- $MX=XM$，所以 $\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \in \mathcal{B}$。 (任何矩阵都与自身可交换)
2. $X = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$
- $MX = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot1+1\cdot1 \\ 0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$。
- $XM = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1 \\ 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right)$。
- $MX \neq XM$，所以 $\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \notin \mathcal{B}$。
3. $X = \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ (零矩阵 O)
- $MX = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$。
- $XM = \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$。
- $MX=XM$，所以 $\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathcal{B}$。 (任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵，所以可交换)
4. $X = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$
- $MX = \left(\
好的，我将根据您提供的 Abstract Algebra Third Edition David Ch0.1.ZH.md 的内容，并严格遵循 解释工作流WorkFlow.md 文件中定义的工作流程，为您生成一份详尽、完整、无删减的解释。解释内容将一次性在本次回复中完整提供，不会截断或省略。
📜 [原文1]
本章收集了文本中通篇使用的一些结果和符号，以方便查阅。学生们可以先快速浏览本章，然后随着概念在文本中的出现，再次更仔细地阅读每个部分。
这部分是全书的引言章节的开篇说明。作者明确指出，这一章（第0章）扮演着一个“速查手册”或“工具箱”的角色。它包含了后续章节会频繁用到的基础数学概念、符号和结论。作者给出了学习建议：
这种安排的目的是为了让读者在进入抽象代数的核心内容之前，确保大家对基础语言和工具有一个统一的认识，避免因为基础知识的生疏而阻碍对新概念的理解。
本段是第0章的引言，说明了本章作为全书基础知识和符号的参考手册的功能，并建议读者采用“先浏览，后精读”的学习策略。
本段的目的是为读者设定正确的学习预期，告知他们本章内容的性质和学习方法。它帮助读者建立一个高效的学习路径，避免在基础知识上花费过多不必要的时间，同时又能在需要时快速找到参考。
你可以把这一章想象成一本字典或者游戏开始前的“新手教程”。在玩一个复杂的游戏之前，教程会快速告诉你基本操作（移动、跳跃、攻击），但你只有在实际遇到需要这些操作的关卡时，才会真正去熟练掌握它们。本章就是这本“数学词典”和“新手教程”，为后续的“游戏关卡”（抽象代数的正式内容）做准备。
想象你准备去一个陌生的国家探险。出发前，你会拿到一本小册子，上面写着这个国家的基本用语（你好、谢谢）、货币符号（¥, $, €）、地图图例（---代表公路，▲代表山峰）等。你可能不会立刻背下所有内容，但你会知道有这本册子存在。当你在这个国家探险时，看到一个不认识的路标，或者想买东西时，你就会翻开这本册子查找对应的信息。本章就是你在“抽象代数王国”探险前拿到的那本关键信息小册子。
📜 [原文2]
读者应该熟悉集合论的基础知识：集合、$\cap, \cup, \in$ 等。我们对给定集合 $A$ 的子集的表示法如下：
集合 $A$ 的阶或基数将用 $|A|$ 表示。如果 $A$ 是一个有限集合，则 $A$ 的阶就是 $A$ 中元素的数量。
理解如何测试特定的 $x \in A$ 是否位于 $A$ 的子集 $B$ 中（参见练习 1-4）非常重要。两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是有序对的集合 $A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$，其中元素来自 $A$ 和 $B$。
这部分开始复习集合论（Set Theory）的基本概念，这是现代数学的通用语言。
公式:
本段复习了集合论的基本语言，包括集合、交、并、属于等符号，重点介绍了使用“集合构建符号”来定义子集的方法，并讲解了集合的阶（基数）和笛卡尔积的概念。
本段旨在为全书建立一套统一、精确的数学语言基础。抽象代数的研究对象（群、环、域等）本质上都是带有附加结构的集合。因此，在讨论这些结构之前，必须确保读者对如何描述集合、子集、元素及其关系有清晰无误的理解。
📜 [原文3]
我们将使用以下符号表示一些常见的数集：
(1) $\mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\}$ 表示整数（$\mathbb{Z}$ 是德语“数字”：”Zahlen”的缩写）。
(2) $\mathbb{Q}=\{a / b \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$ 表示有理数（或有理数集）。
(3) $\mathbb{R}=\left\{\right.$ 所有小数展开式 $\left.\pm d_{1} d_{2} \ldots d_{n} . a_{1} a_{2} a_{3} \ldots\right\}$ 表示实数（或实数集）。
(4) $\mathbb{C}=\left\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1\right\}$ 表示复数。
(5) $\mathbb{Z}^{+}、\mathbb{Q}^{+}$和 $\mathbb{R}^{+}$将分别表示 $\mathbb{Z}、\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 中的正（非零）元素。
这部分规定了全书中将要用到的标准数学符号，用来代表几类非常重要的数字集合。这些符号在数学中是高度标准化的。
这些集合之间存在着清晰的包含关系（子集关系）：
$\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
本段定义了将在全书中使用的五个标准数集符号：$\mathbb{Z}$ (整数), $\mathbb{Q}$ (有理数), $\mathbb{R}$ (实数), $\mathbb{C}$ (复数)，以及它们的正子集 $\mathbb{Z}^{+}, \mathbb{Q}^{+}, \mathbb{R}^{+}$。
目的是标准化符号，确保作者和读者在提到“整数”、“有理数”等基本数学对象时，使用的是同一套语言，避免歧义。这些数集本身也是抽象代数中一些最重要、最典型的研究实例（例如，整数构成一个环，有理数、实数、复数都构成域）。
想象一套俄罗斯套娃：
📜 [原文4]
我们将使用符号 $f: A \rightarrow B$ 或 $A \xrightarrow{f} B$ 来表示从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$，并且 $f$ 在 $a$ 处的值表示为 $f(a)$（即，我们将所有函数应用到左侧）。函数和映射这两个词我们可互换使用。集合 $A$ 称为 $f$ 的定义域，而 $B$ 称为 $f$ 的上域。如果 $f$ 是已知的，则符号 $f: a \mapsto b$ 或 $a \mapsto b$ 表示 $f(a)=b$，即函数在元素上被指定。
这部分开始复习函数（Function）或映射（Mapping）的核心概念和符号。
本段规定了函数（或映射）的表示方法 $f: A \rightarrow B$，明确了定义域和上域的概念，并介绍了用于描述具体元素对应关系的符号 $a \mapsto b$。
函数是抽象代数的核心工具。群、环、域之间的关系（如同态、同构）都是通过函数来定义的。因此，在开始之前，必须对函数是什么、如何表示它、以及相关的术语有一个清晰、统一的理解。
想象一个自动售货机 f。
想象一个弓箭手在射箭。
📜 [原文5]
如果函数 $f$ 未在元素上指定，通常检查 $f$ 是否良好定义（well defined），即是否被明确确定，这一点很重要。例如，如果集合 $A$ 是两个子集 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的并集，那么可以通过声明 $f$ 将 $A_{1}$ 中的所有内容映射到 0，并将 $A_{2}$ 中的所有内容映射到 1，来尝试指定一个从 $A$ 到集合 $\{0,1\}$ 的函数。除非 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 有共同的元素（在这种情况下，不清楚这些元素应该映射到 0 还是 1），否则这会明确定义 $f$。因此，检查这个 $f$ 是否良好定义，就相当于检查 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 没有交集。
这部分引入了一个在抽象代数中极其重要的概念：良定义性 (Well-definedness)。
一个函数是“良好定义”的，意味着它的定义是清晰、无歧义的。具体来说，要满足两个条件：
这个概念什么时候变得特别重要呢？当函数的输入（定义域的元素）本身可以用多种方式表示时。
比如，在定义有理数上的函数时，输入是 $a/b$，但我们知道 $1/2$ 和 $2/4$ 是同一个有理数。如果你的函数定义依赖于分子和分母的具体数值，你就必须检查，当输入是 $1/2$ 时和输入是 $2/4$ 时，你的函数是否给出了相同的输出。如果输出不同，那么这个函数就不是“良好定义”的，因为它对于同一个输入的两种不同表示给出了矛盾的结果。
作者给出的例子阐述了“唯一性”的问题：
本段强调了在定义一个函数时，特别是当定义方式不直接作用于元素本身而是作用于其某种表示时，必须验证该函数是“良好定义”的。这意味着要确保对同一个元素的任何不同表示，函数都会给出相同、唯一的输出。
“良定义性”是抽象代数中的一个守门员概念。抽象代数中充满了各种“商构造”（quotient construction），即把一些东西“等同看待”（例如，在模 5 算术中，2，7，-3 都被看作同一个东西）。当我们在这些构造出来的新对象上定义运算或函数时，良定义性是保证这些运算和函数有意义的第一步。提前引入这个概念，是为了培养读者在遇到这类情况时保持警惕的习惯。
想象你要给联合国的所有成员国（集合 A）评级，分为“发达”(1)和“发展中”(0)。你定义了一个函数 $f: A \rightarrow \{0, 1\}$。
现在假设你的评级规则依赖于这个国家派来的代表的着装。规则是：如果代表穿西装（集合 $A_1$），评为1；如果穿民族服装（集合 $A_2$），评为0。
问题来了：如果某国代表今天穿西装，明天穿民族服装怎么办？或者，一个国家派了两个代表，一个穿西装，一个穿民族服装？这时你的评级规则就失效了，因为对于同一个国家，你可能会给出 1 和 0 两种评级。这个函数就不是良好定义的。
一个良好定义的函数，其输出应该只跟输入对象（国家本身）有关，而与这个对象的代表（着装）无关。
你正在给一堆照片分类。这些照片有些是彩色的，有些是黑白的，但可能有多张照片拍的是同一个人。
你尝试定义一个分类规则（函数） $f$:
这是一个从 {所有照片} 到 {所有人} 的函数。
现在，如果你的分类规则是基于照片的某个属性，比如：
这本身是一个从 {照片} 到 {0,1} 的良好定义函数。
但如果你想定义一个从 {人} 到 {0,1} 的函数 $h$，而你的操作方法是“随便找一张这个人的照片，看照片是彩色还是黑白来决定 $h$ 的值”，那么这个函数 $h$ 就可能不是良好定义的。因为“人物A”可能既有彩色照片，也有黑白照片。你随机选到不同的照片（对同一个输入“人物A”的不同表示），就会得到不同的函数值（0或1）。要使 $h$ 良好定义，你必须有一个更本质的规则，比如“如果这个人生于1980年后，则 $h=1$，否则 $h=0$”，这个规则就和照片无关了。
📜 [原文6]
集合
是 $B$ 的一个子集，称为 $f$ 的值域或像（或 $A$ 在 $f$ 下的像）。对于 $B$ 的每个子集 $C$，集合
由在 $f$ 下映射到 $C$ 的 $A$ 中的元素组成，称为 $C$ 在 $f$ 下的原像或逆像。对于每个 $b \in B$，集合 $\{b\}$ 在 $f$ 下的原像称为 $f$ 在 $b$ 上的纤维。请注意，$f^{-1}$ 通常不是一个函数，并且 $f$ 的纤维通常包含许多元素，因为可能有许多 $A$ 中的元素映射到元素 $b$。
这部分定义了与函数相关的两个重要集合：值域 (Range/Image) 和 原像 (Preimage/Inverse Image)。
公式1：值域/像
公式2：原像/逆像
本段定义了函数的两个核心关联集合：值域（像），即所有实际输出的集合；原像（逆像），即所有能映射到某个目标子集的输入的集合。同时特别定义了“纤维”作为单点元素的原像，并警告读者不要将广义的逆像符号 $f^{-1}$ 与逆函数混淆。
值域和原像是分析函数性质的基础工具。
因此，提前精确定义这些概念是为后续更深入的理论铺路。
继续使用自动售货机 f 的例子：
继续使用弓箭手的例子：
📜 [原文7]
如果 $f: A \rightarrow B$ 且 $g: B \rightarrow C$，则复合映射 $g \circ f: A \rightarrow C$ 定义为
这部分介绍了函数复合 (Composition of functions)，一种将多个函数串联起来形成一个新函数的方法。
公式:
本段定义了函数的复合运算 $g \circ f$，其法则是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并且强调了运算顺序是从右向左。
函数复合是构造新函数的基本方法。在抽象代数中，复合有极其重要的性质。例如：
想象一个生产流水线。
你正在使用手机修图。
📜 [原文8]
设 $f: A \rightarrow B$。
(1) 如果每当 $a_{1} \neq a_{2}$ 时，$f\left(a_{1}\right) \neq f\left(a_{2}\right)$，则 $f$ 是内射或单射。
(2) 如果对于所有 $b \in B$，存在某个 $a \in A$ 使得 $f(a)=b$，则 $f$ 是满射或外射，即 $f$ 的像是 $B$ 的全部。请注意，由于函数总是映射到其值域（根据定义），因此为了使满射性问题有意义，需要指定上域 $B$。
(3) 如果 $f$ 既是内射又是满射，则 $f$ 是双射或一对一对应。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的这种双射 $f$，我们称 $A$ 和 $B$ 双射对应。
(4) 如果存在一个函数 $g: B \rightarrow A$ 使得 $g \circ f: A \rightarrow A$ 是 $A$ 上的恒等映射，即对于所有 $a \in A$，$(g \circ f)(a)=a$，则 $f$ 具有左逆。
(5) 如果存在一个函数 $h: B \rightarrow A$ 使得 $f \circ h: B \rightarrow B$ 是 $B$ 上的恒等映射，则 $f$ 具有右逆。
这部分定义了函数的三种核心性质，并引入了左逆和右逆的概念，它们与这些性质密切相关。
设 $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{x, y, z, w\}$
本段定义了函数的三大性质：
并引入了与这些性质相关的左逆和右逆的概念。
这三种性质是分类和理解函数的基本框架。在抽象代数中：
左逆和右逆的概念则为下一节的命题1提供了铺垫，将这三种性质与逆的存在性直接联系起来。
[直觉心-智模型]
想象一场相亲大会，男士集合 $A$，女士集合 $B$。函数 $f$ 是配对规则，$f(a)=b$ 表示男士 $a$ 选择与女士 $b$ 配对。
想象你有一堆钥匙（集合A）和一堆锁（集合B）。函数 $f(k)=l$ 表示钥匙 $k$ 能打开锁 $l$。
📜 [原文9]
命题 1。设 $f: A \rightarrow B$。
(1) 映射 $f$ 是内射当且仅当 $f$ 具有左逆。
(2) 映射 $f$ 是满射当且仅当 $f$ 具有右逆。
(3) 映射 $f$ 是双射当且仅当存在 $g: B \rightarrow A$ 使得 $f \circ g$ 是 $B$ 上的恒等映射且 $g \circ f$ 是 $A$ 上的恒等映射。
(4) 如果 $A$ 和 $B$ 是具有相同元素数量的有限集合（即 $|A|=|B|$），则 $f: A \rightarrow B$ 是双射当且仅当 $f$ 是内射当且仅当 $f$ 是满射。
证明：练习。
在上述命题的第 (3) 部分中，映射 $g$ 必然是唯一的，我们称 $g$ 是 $f$ 的双侧逆（或简称逆）。
这个命题非常重要，它把上一节定义的抽象性质（内射、满射、双射）与更具体、更具构造性的概念（左逆、右逆、双侧逆）完全等价了起来。
命题1建立了函数性质和逆的存在性之间的桥梁：
它还特别指出了在定义域和上域是大小相等的有限集合这一特殊情况下，内射、满射、双射三者是等价的。
这个命题将函数的抽象性质转化为了一个更具体的问题：“是否存在一个起‘撤销’作用的函数？”。这种转化非常有用。在代数结构的范畴里，如果一个同态是双射的（即同构），那么它的逆函数也必然是一个同态，这意味着两个结构之间存在一种完全可逆的、保持结构的对应关系。这个命题是理解同构概念的基石。
回到相亲大会模型 ($f: A \to B$)。
回到钥匙与锁模型 ($f: k \to l$)。
📜 [原文10]
集合 $A$ 的置换（permutation）就是从 $A$ 到自身的一个双射。
如果 $A \subseteq B$ 且 $f: B \rightarrow C$，我们用 $\left.f\right|_{A}$ 表示 $f$ 对 $A$ 的限制。当我们所考虑的定义域是明确的，即使这些是形式上不同的函数（它们的定义域不同），我们偶尔也会将 $\left.f\right|_{A}$ 再次简单地表示为 $f$。
如果 $A \subseteq B$ 且 $g: A \rightarrow C$，并且存在一个函数 $f: B \rightarrow C$ 使得 $\left.f\right|_{A}=g$，我们将称 $f$ 是 $g$ 到 $B$ 的扩张（这样的映射 $f$ 不一定存在，也不一定唯一）。
这部分引入了三个与函数相关的重要术语。
这个 $f_2$ 也是一个合法的扩张，因为 $\left.f_2\right|_{\mathbb{Q}} = g$。但它是一个非常“奇怪”和不连续的函数。
本段定义了三个概念：
这三个概念在代数中各有用途：
📜 [原文11]
设 $A$ 是一个非空集合。
(1) 集合 $A$ 上的二元关系是 $A \times A$ 的一个子集 $R$，如果 $(a, b) \in R$，我们记作 $a \sim b$。
(2) 集合 $A$ 上的关系 $\sim$ 被称为：
(a) 自反的，如果对于所有 $a \in A$，有 $a \sim a$，
(b) 对称的，如果对于所有 $a, b \in A$， $a \sim b$ 蕴含 $b \sim a$，
(c) 传递的，如果对于所有 $a, b, c \in A$， $a \sim b$ 且 $b \sim c$ 蕴含 $a \sim c$。
如果一个关系是自反、对称和传递的，则它是一个等价关系。
这部分从最基础的定义开始，引入了“关系”这一概念，并最终聚焦于一种在数学中极为重要的特殊关系——等价关系。
一个关系 ~ 要成为等价关系，必须同时满足以下三个条件。这三个条件的名字非常直观地描述了它们的含义。
$A \times A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$
本段定义了数学中的“关系”是笛卡尔积的子集，并给出了“等价关系”的三个判断标准：自反性、对称性和传递性。
等价关系是抽象代数进行“构造”和“简化”的根本工具。通过定义一个合适的等价关系，我们可以把一个复杂的集合中“本质相同”的元素“捏”成一个单点，从而得到一个更简单、更具代表性的新集合（商集）。例如：
把集合 $A$ 的元素想象成一群人。一个“关系” ~ 就是一个判断两个人是否“相关”的规则。
想象一个由许多岛屿组成的群岛（集合 A）。
📜 [原文12]
(3) 如果 $\sim$ 定义了 $A$ 上的等价关系，那么 $a \in A$ 的等价类定义为 $\{x \in A \mid x \sim a\}$。等价类 $a$ 中的元素被称为与 $a$ 等价。如果 $C$ 是一个等价类，则 $C$ 的任何元素都称为该类的代表元。
(4) $A$ 的划分是非空子集的任何集合族 $\left\{A_{i} \mid i \in I\right\}$（$I$ 为某个索引集），使得
(a) $A=\cup_{i \in I} A_{i}$，且
(b) 对于所有 $i, j \in I$ 且 $i \neq j$，有 $A_{i} \cap A_{j}=\emptyset$，
即 $A$ 是划分中集合的不相交并集。
这部分揭示了等价关系的真正目的：对集合进行划分。
本段定义了由等价关系产生的等价类（与某个元素等价的所有元素的集合），以及划分（将一个集合切分成互不相交且并集为全集的子集族）的概念。
本段的目的是为了引出下一节的命题2，即揭示等价关系和划分这两个概念实际上是同一枚硬币的两面。等价关系提供了一种代数方法（通过 ~ 符号）来描述分类，而划分提供了一种集合论方法（通过子集族）来描述分类。理解了这一点，就可以根据问题的便利性，在这两种视角之间自由切换。
回到“来自同一个国家”这个等价关系。
想象你有一大盒五颜六色的乐高积木（集合 A）。
📜 [原文13]
集合 $A$ 上的等价关系和 $A$ 的划分的概念是相同的：
命题 2。设 $A$ 是一个非空集合。
(1) 如果 $\sim$ 定义了 $A$ 上的等价关系，则 $\sim$ 的等价类构成 $A$ 的一个划分。
(2) 如果 $\left\{A_{i} \mid i \in I\right\}$ 是 $A$ 的一个划分，则 $A$ 上存在一个等价关系，其等价类恰好是集合 $A_{i}, i \in I$。
这个命题正式确立了“等价关系”和“划分”之间的一一对应关系。它们是从不同角度描述同一件事的两种方式。
核心思想: 等价关系是“规则”，划分是“结果”。这个命题说明，规则和结果是一一对应的。
命题2阐明了等价关系和划分是描述集合分类的两种等价方式。每一个等价关系都唯一确定一个划分（由其等价类构成），反之，每一个划分也都唯一确定一个等价关系（以“同属一个子集”为标准）。
这个命题是本节，乃至整个商集理论的顶峰。它赋予了我们极大的灵活性：
这个命题保证了这两种思维方式的合法性和一致性。在后续的代数学习中，我们会反复看到这种思想的应用：定义一个关系，证明它是等价关系，然后研究由它的等价类组成的商集，这个商集就是一个被划分后的“新世界”。
这就像“食谱”与“菜肴”的关系。
想象你有一张世界地图和一堆图钉。
📜 [原文14]
最后，我们将假设读者熟悉归纳法证明。
这是一个简短但重要的声明，作者在此明确了一个先修知识要求：数学归纳法 (Mathematical Induction)。
本段是一个声明，告知读者本书将假定其已掌握数学归纳法这一重要的证明工具，而不再进行教学。
抽象代数中有大量的命题是关于整数或结构的大小的，例如：
这些命题的证明常常需要用到归纳法。作者在此明确要求，是为了让读者做好准备，在后续章节中能够顺利地理解和构建归纳证明。
爬梯子。你要向人证明你能爬到梯子的任意一节。
传播谣言。你要证明一个谣言能传遍一个排成一列的人群。
这部分是让读者通过具体操作来巩固和检验前面所学概念的习题。
📜 [原文15]
在练习 1 到 4 中，设 $\mathcal{A}$ 是具有实数项的 $2 \times 2$ 矩阵的集合。回顾矩阵乘法定义为
设
并设
这部分为前四个练习题设定了统一的背景。
📜 [原文16]
这道题就是直接应用“检验成员资格”的技能。对列表中的每一个矩阵 $X$，我们都需要计算 $MX$ 和 $XM$，然后比较它们是否相等。
设 $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
最终答案: 在 $\mathcal{B}$ 中的矩阵是 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, 和 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
📜 [原文17]
这道题是证明子集 $\mathcal{B}$ 对矩阵加法是封闭 (closed) 的。
📜 [原文18]
这道题是证明子集 $\mathcal{B}$ 对矩阵乘法也是封闭的。
📜 [原文19]
这道题要求我们从具体的例子和性质，推广到一般形式。我们要为子集 $\mathcal{B}$ 找到一个更直观的描述，而不是一个需要验证的条件。
$MX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot p+1\cdot r & 1\cdot q+1\cdot s \\ 0\cdot p+1\cdot r & 0\cdot q+1\cdot s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p+r & q+s \\ r & s \end{pmatrix}$
$XM = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\cdot 1+q\cdot 0 & p\cdot 1+q\cdot 1 \\ r\cdot 1+s\cdot 0 & r\cdot 1+s\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & p+q \\ r & r+s \end{pmatrix}$
两个矩阵相等，意味着它们对应位置的四个元素都必须相等。
$\begin{pmatrix} p+r & q+s \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & p+q \\ r & r+s \end{pmatrix}$
📜 [原文20]
(a) $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $f(a / b)=a$。
(b) $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 定义为 $f(a / b)=a^{2} / b^{2}$。
这道题是“良定义性”概念的直接应用。由于函数的输入是有理数 $\mathbb{Q}$，而有理数有多种表示方法（如 $1/2 = 2/4$），我们需要检查函数的定义是否依赖于特定的表示。
📜 [原文21]
这道题考察的是实数表示的唯一性问题。
📜 [原文22]
是一个等价关系，其等价类是 $f$ 的纤维。
这道题将本章的两个核心概念——函数和等价关系——联系了起来。它表明任何一个满射函数都自然地在它的定义域上诱导了一个等价关系。
我们需要验证自反、对称、传递三个性质。
1. $B=\{a \in A \mid \ldots(\text { 对 } a \text { 的条件 }) \ldots\} 。$
解释：这是定义集合B的“集合构建”表示法，B由所有属于A且满足特定条件的元素a组成。
2. $f(A)=\{b \in B \mid b=f(a), \text { 对于某些 } a \in A\}$
解释：这是函数f的值域（或像）的定义，即所有实际输出值的集合。
3. $f^{-1}(C)=\{a \in A \mid f(a) \in C\}$
解释：这是上域子集C的原像（或逆像）的定义，即所有能映射到C中的输入元素的集合。
4. $(g \circ f)(a)=g(f(a))$
解释：这是函数复合的定义，表示先应用函数f，再将结果应用到函数g。
5. $\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a p+b r & a q+b s \\c p+d r & c q+d s\end{array}\right)$
解释：这是2x2矩阵乘法的定义公式。
6. $M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\0 & 1\end{array}\right)$
解释：在练习1-4中定义的一个特定的2x2剪切矩阵。
7. $\mathcal{B}=\{X \in \mathcal{A} \mid M X=X M\} 。$
解释：定义了一个矩阵子集$\mathcal{B}$，它包含所有与矩阵M乘法可交换的2x2矩阵。
8. $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right) 。$
解释：这是练习1中需要被检验是否属于集合$\mathcal{B}$的一系列矩阵。
9. $a \sim b \text { 当且仅当 } f(a)=f(b)$
解释：这是练习7中定义在函数定义域上的一个关系，如果两个元素的函数值相等，则它们相关。